Introducción. Información disponible en pisa sobre la Organización y el funcionamiento de las escuelas Según señala el informe internacional correspondiente a la aplicación de 2006, los estudios PISA han examinado un conjunto de características de los centros escolares siguiendo tres líneas de investigación. La primera se centra en las características de la organización y la gestión de los centros (autonomía, liderazgo, prácticas de evaluación, implicación de los padres, entre otras). La segunda agrupa los estudios sobre los recursos humanos y materiales educativos (proporción entre alumnos y profesores, calidad de las infraestructuras físicas del colegio, recursos educativos, etc.). Y por último, la tercera línea se centra en los procesos educativos en el aula (oportunidades de aprendizaje de los alumnos, tiempo que emplean en las tareas, control del rendimiento en clase, etc.). En el presente capítulo se analiza la información que aporta PISA sobre algunos de los aspectos de las escuelas y las aulas en las que los alumnos evaluados desarrollan las competencias básicas, como los relativos a la organización de las escuelas, los criterios de admisión de los alumnos, el grado de autonomía y
corresponsabilidad de equipos directivos y comunidades educativas, y los recursos de los centros. A esta información se añade la que ofrecen los alumnos sobre sus actitudes ante las ciencias y la de los padres sobre su percepción del funcionamiento de las escuelas. El análisis de los resultados que se ha realizado en el capítulo anterior, en el que se han considerado los factores asociados a los mismos, pone de manifiesto la importancia que para unos buenos resultados educativos tienen la organización y el funcionamiento de las escuelas, el trabajo de los equipos docentes y de cada uno de los profesores y lo que ocurre día a día en el aula. Sin embargo, conocer estos aspectos del funcionamiento de las escuelas y de las aulas es tan importante como complejo, especialmente si se abordan estas cuestiones solo desde la evaluación externa y con los instrumentos que PISA utiliza, es decir, cuestionarios auto-respondidos. Como se ha señalado, PISA ofrece información sobre estas cuestiones en el capítulo 5 del informe internacional. Lo que allí se expone se basa fundamentalmente en cuestionarios respondidos por directores y alumnos, y en menor medida en cuestionarios dirigidos a los padres. Por esta razón, no se ha querido limitar este informe al análisis sobre estos factores que se hace en el capítulo anterior. Se trata de complementar aquí dicho análisis, debido a su relevancia. No obstante, es necesario subrayar que la información que se ofrece en este capítulo debe tomarse con cautela. En primer lugar, porque no son muchos los directores consultados por cada país (excepto en algunos casos). En segundo lugar, en aquellos sistemas educativos en los que la enseñanza se imparte en diversas instituciones educativas a lo largo de la vida escolar, el entorno actual de aprendizaje y los datos contextuales recogidos en PISA de los alumnos de 15 años solo pueden explicar parcialmente los resultados de los alumnos, ya que no considera directores, profesores y compañeros de años anteriores. Por último, el estudio de los recursos de un centro requiere una precisión que es posible que las encuestas no logren recoger, ya que los directores pueden no disponer del tiempo o los medios para recoger tales datos. Asimismo, sería importante poder asociar recursos a determinados estudiantes más que asociarlos a todo un centro. Hay que insistir, por tanto, en la prudencia al considerar estos datos presentados por el informe internacional y aquí recogidos, sin perder de vista la importancia de los aspectos a los que se refieren. Por otra parte, se ha señalado que es complejo medir los procesos educativos en los centros y en las aulas mediante pruebas estandarizadas externas. Pero no menos complejo es recurrir a evaluaciones, opiniones y percepciones de los propios centros y profesores que, por su carácter eminentemente ligado a cada contexto, no son comparables internacionalmente, y ni siquiera entre escuelas o etapas educativas y equipos de profesores de un mismo país. Por tanto, debemos tener presente que se trata de información complementaria importante que puede iluminar los resultados, aunque se tomen las precauciones del caso. Esta es la razón que justifica este capítulo en el Informe del GIP.
La cautela señalada exige matizar cualquier relación entre los resultados de los cuestionarios y los de las pruebas de los alumnos. Por esta razón, en este capítulo se renuncia a relacionar directamente la organización y el entorno de las escuelas con el nivel de rendimiento de los alumnos. Se abordan aspectos relativos a la política de admisión de alumnos por parte de las escuelas, la autonomía de que disponen los directores y órganos de dirección de las escuelas y los recursos que se ponen a su disposición, así como percepciones de alumnos y padres. No se relacionaron procesos de aula con aspectos del informe por la debilidad de la información. No obstante, este asunto es de la mayor importancia y el GIP quiere dejar constancia de lo valioso que sería para PISA plantearse instrumentos más adecuados para mejorar la información que sobre los procesos educativos se puede obtener en el contexto de una evaluación externa.
Políticas de admisión de los alumnos en las escuelas Para conocer el grado de selección de los alumnos que realizan las escuelas se preguntó a los directores sobre las políticas de admisión que aplicaban en el centro. Entre otros criterios, se recogen a continuación el grado en que se toman en consideración para la admisión de alumnos el área de residencia, las calificaciones de los alumnos, el deseo o necesidad de un programa especial y la existencia de familiares matriculados en el centro. Entre estos criterios destaca claramente la admisión en función del área de residencia de los estudiantes, por ser el más frecuente en los países de la OCDE (47 % de los alumnos), seguido de las calificaciones de los alumnos (27 %) y del deseo de realizar un programa especial (19 %) (Gráficos 5.1 y 5.2)1. Gráfico 5.1 Políticas de admisión en los centros escolares Porcentaje de alumnos matriculados: En función de residir en un área particular
El deseo o la necesidad de un alumno de cursar un programa específico es el siguiente criterio más utilizado en la OCDE (19 %). Portugal es el país del grupo donde más alumnos hay matriculados en función de este criterio (41 %). Por encima del promedio de la OCDE también se sitúan Colombia y Argentina (20 % de los alumnos en los dos países), mientras que en el resto de países del GIP este criterio de admisión es menos frecuente (en torno al 10 %). Finalmente, España es el país donde el criterio de existencia de familiares matriculados en el mismo centro es el más utilizado en la admisión de alumnos. Portugal y Argentina también aplican este criterio de admisión con más frecuencia que los países de la OCDE. Por debajo de esta media se sitúan el resto de países iberoamericanos, siendo Colombia (5 %), Brasil (6 %) y Uruguay (7 %) los que menos habitualmente aplican esta política (Gráfico 5.2). Puede concluirse que, en general, la selección de alumnos por parte de las escuelas por motivos distintos que los de residir en el área de residencia no es determinante en los países de la OCDE, si se descuentan aquellos con un elevado porcentaje de centros privados o los países asiáticos. Solo Chile y México entre los países del GIP dan un peso relativo a las calificaciones anteriores de los alumnos y prácticamente solo en España es un factor determinante el tener hermanos en el centro.
Percepción de los directores sobre la autonomía de sus escuelas y asunción de responsabilidades por parte de la dirección y del conjunto de la comunidad educativa Este es uno de los factores mejor analizados por PISA. Hay que destacar también que en este asunto la información de los directores es seguramente la mejor fuente posible y, desde luego, es cualificada. Para medir el grado en el que la comunidad educativa de una escuela participa en la toma de decisiones relativas a la gestión del centro, PISA pregunta a los directores de los colegios el grado de responsabilidad y de influencia de las partes interesadas (el propio director, la junta de gobierno del colegio, grupos de directores, asociaciones de padres y de estudiantes…) en la toma de decisiones. A continuación, se analiza la autonomía de la que disponen los propios directores de los centros en la toma de decisiones relacionadas con el profesorado, el alumnado, las enseñanzas y el presupuesto. Con respecto a la autonomía de la que disponen los directores en relación con el profesorado (tanto en relación con su contratación como con la posibilidad de una mejora salarial), se observa que los directores de los países del GIP, excepto Chile, tienen menos autonomía que el resto de países de la OCDE (Gráfico 5.3). Y, cuando esta autonomía existe, se concentra, al menos en algunos de los países GIP como España y Chile, en los centros privados. Gráfico 5.3 Autonomía de los centros escolares Porcentaje de alumnos en centros cuyo director informó que tiene autonomía a la hora de: Contratar al profesorado
Respecto a la contratación de los profesores de sus escuelas y en los salarios que perciben, las situaciones de los países del GIP son diversas y la de los países utilizados en la comparación también. No parece poder establecerse de modo concluyente ninguna relación entre esta capacidad de decisión de los directores y los promedios de los países en las pruebas PISA, pues hay resultados en los extremos en todos los casos considerados. Si se compara la autonomía del director en las decisiones relativas al profesorado y en aquellas relativas al alumnado, se observa una mayor flexibilidad de los directores de la OCDE en lo que respecta a los alumnos (admisión, disciplina y evaluación) que en aquellas relativas al profesorado (Gráficos 5.3 y 5.4). Este es el patrón al que responden también los países del GIP. La autonomía de los directivos con los alumnos y sus circunstancias es considerablemente mayor. Entre el 63 % y el 82 % de los alumnos que han participado en PISA 2006 se encuentra en centros en la que la dirección toma decisiones relativas a las cuestiones de admisión, disciplina o evaluación de los estudiantes. Con relación a la admisión de alumnos, los directores de los centros de Brasil, Argentina, Colombia y Chile poseen más autonomía que la media de los países de la OCDE (76 %,79 %, 80 % y 91 %, respectivamente, frente al 74 % de la OCDE), mientras que los de Uruguay y México se sitúan por debajo de esta media (41 % y 67 %, respectivamente). Autonomía para la admisión de los alumnos equivale a autoridad para seleccionar estudiantes para su matrícula. De hecho, países como Chile, Argentina y México están entre los países que menos matriculan según el lugar de residencia y que más seleccionan según el desempeño académico. El 82 % de los alumnos de la OCDE asisten a colegios donde los directores disponen de autonomía en la disciplina de los alumnos. En el GIP, Chile, México y Colombia superan este porcentaje con un 85 %, 89 % y 96 %, respectivamente. En el caso del establecimiento de normas de evaluación, Chile es el único país que presenta un porcentaje superior al resto de países de la OCDE (63 %). Aunque por debajo de esta media Brasil, México y Colombia presentan porcentajes próximos (56 %, 58 % y 61 %, respectivamente), mientras que Uruguay y Argentina se alejan significativamente de ella (20 % y 42 %, respectivamente). Dentro de los países del GIP, Uruguay, España y Portugal presentan los porcentajes más moderados de autonomía en todos los asuntos relacionados con la admisión, la disciplina y la evaluación de los alumnos, y Chile y Colombia los más elevados. Tampoco en este caso, considerando los países del GIP o de la muestra, puede concluirse una relación evidente entre autonomía de los directores y resultados de los países. En el Gráfico 5.5 se recogen los porcentajes sobre la autonomía de los directores en relación con las enseñanzas ofrecidas y la elaboración del presupuesto. Solo los directores de Chile y Colombia ostentan una autonomía mayor en la decisión sobre las enseñanzas ofrecidas que el resto de directores de la OCDE (74 % y 77 %, respectivamente, frente a un promedio de 53 %). Argentina presenta un porcentaje cercano a la media (52 %), mientras que México, Uruguay y Brasil se alejan considerablemente de la media de la OCDE (16 %, 18 % y 29 %). El promedio de alumnos de la OCDE escolarizados en centros cuyos directores dicen tener autonomía con relación a la elaboración del presupuesto se sitúa en el 57 %, siendo Colombia el país iberoamericano con más autonomía en este campo (88 %). México y Chile también declaran mayor autonomía que la media de los países de la OCDE (58 % y 62 %, respectivamente). De forma general se concluye que Chile es el único país del GIP en el que los directores disponen en todos los casos (con relación a los profesores, a los alumnos, a las decisiones sobre las enseñanzas ofrecidas y a la elaboración del presupuesto) de una mayor autonomía que el promedio de países de la OCDE, mientras que Uruguay se halla sistemáticamente por debajo de este promedio. Debe extremarse la prudencia al considerar el efecto de la autonomía de los directores sobre las enseñanzas y los resultados de los alumnos (véanse, por ejemplo, los resultados de Finlandia en todos los gráficos). Como se ha destacado anteriormente, la relación entre los diferentes aspectos de la autonomía de los centros en un país y el rendimiento de los estudiantes puede no ser muy elevada. Sin embargo, cuando PISA estudia esta relación a través de un análisis multinivel y con todos los países de la muestra, concluye que, en general, el rendimiento medio suele ser más elevado en aquellos países en que los directores informan de un grado más alto de autonomía en la mayoría de los aspectos de la toma de decisiones mencionados anteriormente. A continuación se describe la influencia que ejercen las juntas de gobierno de las escuelas en las decisiones relativas a las políticas de personal, a la elaboración y asignación de presupuestos y al contenido educativo, siempre según las respuestas de los directores. En el conjunto de países de la OCDE, la junta directiva de los centros participa sobre todo en la elaboración de presupuestos (62 %), y en menor medida en las políticas de personal (34 %) y en la decisión sobre contenidos educativos (22 %) (Gráfico 5.6). La influencia directa de las juntas directivas en las políticas de personal (contrataciones y despidos) es muy desigual entre los países del GIP. En Colombia, un porcentaje muy bajo (6 %) de estudiantes de 15 años asiste a centros privados cuyo director declara que la junta directiva ejerce una influencia directa en las políticas de personal. En España y Uruguay el porcentaje se sitúa alrededor del 20 %. En Brasil, Portugal, Argentina y México el porcentaje es superior al de la media de la OCDE, en torno al 40 %. Y, por último, en Chile la junta directiva ejerce claramente una influencia directa en este aspecto (75 %). En Chile, Portugal, Colombia y España más del 70 % de los estudiantes asiste a centros cuyos directores perciben una fuerte influencia de la junta en la elaboración y asignación de presupuestos, mientras que en Uruguay este porcentaje está muy por debajo de la media del GIP (18 %).
Nuevamente hay que tener en cuenta la gran diferencia que existe en muchos sistemas educativos entre centros públicos y privados en estos aspectos. En la mayoría de los países del GIP (salvo en Portugal, Uruguay y España) la influencia de la junta directiva del centro en el contenido educativo es más importante que en los países de la OCDE (22 %). Además, en Chile, Colombia y Brasil más del 50 % de los estudiantes asiste a centros en los que existe una influencia directa de la junta de gobierno en la definición de los contenidos educativos que se imparten en el centro.
El estudio PISA Características principales del estudio y países participantes El Informe GIP y la comparabilidad de los resultados entre países Características principales del Estudio Y países participantes La OCDE inició el proyecto PISA en 1997 con el propósito de ofrecer resultados sobre el rendimiento educativo de los alumnos de 15 años. Se trataba de que estos resultados pudieran completar el panorama de indicadores educativos que viene publicando la OCDE desde 1992. Pero, sobre todo, PISA representa hoy un compromiso de los gobiernos para estudiar la evolución de los resultados de los sistemas educativos a través de los logros de los alumnos. Además, trata de proporcionar nuevas bases para el diálogo político y la colaboración en la definición y adopción de los objetivos educativos y de las competencias que son relevantes para la vida adulta. Por otra parte, la OCDE, en colaboración con todos los países implicados en PISA, ha puesto en marcha un riguroso y extenso plan de trabajo, que incluye un sólido apoyo técnico a cargo de un consorcio internacional de instituciones con amplia experiencia en la evaluación y la investigación educativas. Este consorcio internacional está dirigido por el Consejo Australiano para la Investigación Educativa (Australian Council for Educational Research, ACER). Los otros socios del consorcio son el Instituto Nacional Holandés para la Medición Educativa (National Institute for Educational Measurement, Citogroep), el Instituto Nacional Japonés para la Investigación Educativa (National Institute for Educational Policy Research, NIER), el Servicio de Evaluación Educativa de Estados Unidos (Educational Testing Service, ETS) y la empresa WESTAT, también de Estados Unidos. Al mismo tiempo, el trabajo de coordinación, dirección y gestión
del proyecto se reparte entre el Secretariado, que bajo la responsabilidad de la división de indicadores coordina los trabajos, impulsa el proyecto y garantiza su realización, el Consejo de Gobierno (PISA Governing Board), que en sus dos reuniones anuales establece las directrices de actuación y adopta las decisiones oportunas, los coordinadores nacionales (National Project Managers) y las unidades correspondientes de cada país. PISA evalúa los conocimientos y las destrezas adquiridas por los alumnos hasta los 15 años; la evaluación de los estudiantes de esta edad y no en un determinado grado ha resultado muy positiva para facilitar la comparación entre sistemas educativos muy diferentes. El estudio se centra en la comprensión lectora, la competencia matemática y la científica. Las tres competencias básicas son evaluadas en cada ciclo de PISA, que se realiza cada tres años. Esto permite apreciar la evolución en el tiempo del rendimiento de los alumnos en las tres competencias evaluadas, pero una de ellas ocupa en cada caso una mayor atención, una prueba más amplia y más tiempo de evaluación. Hay que resaltar que el informe internacional utiliza el término competencia en este sentido amplio (competencia matemática, competencia científica o reading literacy), que incluye distintos procesos, contenidos y, en su caso, actitudes. Pero en ciencias también usa el término de competencias para referirse a los diferentes procesos científicos que se consideran en la competencia básica científica: identificar cuestiones científicas, explicar fenómenos científicamente y utilizar evidencia científica. En este informe aparece el concepto con ambos sentidos, particularmente en el capítulo 3, en el que se trata de precisar un poco más el uso referido a los procesos. Esperamos que esta aclaración evite la posible confusión, sobre todo si se tiene en cuenta el contexto en el que se utiliza en cada caso, como en los informes PISA de OCDE. La idea de considerar en la evaluación las competencias básicas en lugar de los aspectos exclusivamente cognitivos de las distintas áreas del currículo se fue generalizando a partir de los años noventa. El Informe a la UNESCO de la Comisión Internacional sobre la Educación para el siglo xxi, presidida por Jacques Delors –La educación encierra un tesoro (UNESCO, 1996)–, planteó cuatro pilares que se consideran fundamentales para la educación: aprender a conocer (dominar los instrumentos del conocimiento), aprender a hacer (adquirir las competencias personales para desenvolverse como ciudadano), aprender a ser (alcanzar el máximo desarrollo posible como persona) y aprender a convivir y a trabajar en comunidad. Además, el Informe destacó el valor y la importancia del desarrollo emocional de los individuos y cómo se deben fomentar los aprendizajes en este sentido. La aproximación al concepto de competencia básica que utiliza PISA se realizó en el proyecto DeSeCo de OCDE. A esta preocupación por la adquisición de las competencias clave se han incorporado también la Unión Europea y diferentes países, que las han introducido en su currículo, como España, Portugal y Francia, atendiendo a las recomendaciones del Parlamento Europeo y del Consejo sobre las competencias clave para el aprendizaje permanente (UE, 2006), que señala como competencias clave aquellas que todas las personas precisan para su realización y desarrollo personales, así como para la ciudadanía activa, la inclusión social y el empleo. El enfoque final adoptado por los países participantes en PISA tiene que ver con la capacidad de los estudiantes para extrapolar lo aprendido y aplicar sus conocimientos a nuevas situaciones y contextos. No se trata de evaluar qué se espera que los estudiantes hayan aprendido, sino con qué éxito pueden extrapolar lo que han aprendido y aplicar sus conocimientos y habilidades en nuevos contextos (OCDE, 2007). Los grupos de expertos e instituciones internacionales que colaboran con PISA han elaborado un marco de referencia para cada competencia y los objetivos de evaluación (OCDE, 2006), en los que se definen las poblaciones muestrales, los ejercicios, las dimensiones de las competencias, los contextos de los aprendizajes y las circunstancias de las escuelas, así como los análisis y los informes que se ofrecen como resultado del estudio. El estudio se realiza sobre una muestra representativa de alumnos de 15 años de cada país, estado federado, región o comunidad participante. Las especificaciones internacionales de muestreo exigen un mínimo de 4.500 alumnos y de 150 centros docentes por país, y 50 centros por estado, región o comunidad. El muestreo puede hacerse proporcional a un cierto número de estratos, y el plan de muestreo de cada país debe ser negociado previamente con el Consorcio Internacional. PISA recoge información de diverso tipo. Por un lado, los alumnos realizan pruebas que duran aproximadamente dos horas y media en formato papel. A partir de 2009 habrá una opción que agrega una prueba en formato electrónico. Estas pruebas combinan preguntas de elección múltiple y preguntas abiertas, organizadas en unidades basadas en un pasaje escrito o en un gráfico que plantea una situación de la vida real. Los marcos especifican los porcentajes deseados según el tipo de respuesta solicitada. Se recurre al muestreo matricial para garantizar que se valoran adecuadamente todas las dimensiones definidas para cada competencia, al tiempo que cada ejercicio individual no sea excesivamente largo para cada alumno. En consecuencia, se han elaborado cuadernos distintos para los alumnos con diferentes bloques de cuestiones en cada una de las formas, de modo que todos los bloques aparecen en posiciones inicial, final e intermedia dentro de algún cuaderno. Por otro lado, PISA propone cuestionarios de contexto que son diligenciados por los alumnos, los directores de los centros y, opcionalmente, las familias. Además, PISA tiene en cuenta otros factores asociados al rendimiento de los alumnos, como sus actitudes y compromiso y las características y recursos de los centros. En el capítulo 3 del presente informe se abordan los resultados de PISA 2006. Como allí se señala, PISA trata de garantizar que estos se expresen en una medida que permite la comparación entre países y en el tiempo. Los resultados que miden el rendimiento de los alumnos se han calculado según la Teoría de Respuesta al Ítem y se han presentado mediante escalas centradas sobre la media de los países pertenecientes a la OCDE e invariantes entre los distintos ciclos de PISA. Todas las escalas de PISA se construyen de modo que la media de los países de la OCDE se hace equivaler a 500 puntos y la desviación típica a 100. Para dar un mayor sentido educativo a la dispersión numérica de las puntuaciones que se producen en PISA, estas se agrupan en niveles de rendimiento. Cada nivel de rendimiento se asocia con una descripción de las competencias y capacidades que típicamente demuestran los alumnos que alcanzan el rango de puntuaciones propio del nivel. Los niveles de rendimiento resultantes, que se describen en el capítulo 3, son los siguientes: El estudio PISA también recoge importante información de contexto de los propios alumnos y de los directores de los centros educativos. Esta información, puesta en relación con los resultados de las pruebas de rendimiento, ofrece una rica comparación de los rasgos que caracterizan a los sistemas educativos de los países participantes. Además, PISA ofrece información y resultados según el sexo, la historia académica de los alumnos y sus circunstancias personales, así como la titularidad de los centros a los que están adscritos y la autonomía y gestión de los mismos. La organización y dirección cooperativa de PISA ha supuesto la participación de 32 países en 2000, 41 en 2003, 57 en 2006 y en 2009 serán 64, sin contar unos 19 más en los que se hará una aplicación especial en 2010. La relación completa de países participantes en 2006 se puede ver en seguida, en el Gráfico 1.1.y en la Tabla 1.2. Gráfico 1.1 Países participantes en PISA 2009 En resumen, PISA tiene como finalidad principal la de ofrecer resultados de los alumnos para valorar a través de ellos el funcionamiento de los distintos sistemas educativos. Asimismo, considera las competencias básicas alcanzadas por los alumnos a la edad de 15 de años y permite la comparación de los resultados entre los países, estados federados, regiones o comunidades autónomas participantes. Estas son, también para los países iberoamericanos, las principales ventajas de participar en este estudio. Cabe resaltar la utilidad de la comparación de los resultados para la región. Los datos del conjunto de la región pueden ser interpretados a la luz de los resultados de otras regiones de características muy diferentes. No obstante, las características y la situación de los países latinoamericanos y sus sistemas educativos son tales que, como queda de manifiesto en este Informe, requieren un esfuerzo complementario de contextualización y de referencia, que el ámbito de países que ofrece PISA amplía notablemente.
El informe gip Y la comparabilidad de los resultados entre países El Grupo Iberoamericano de PISA, GIP, nació en 2005 con el propósito de facilitar la cooperación, la reflexión y la ayuda mutua entre los países Iberoamericanos que participan en PISA, mejorar su contribución a la toma de decisiones técnicas y de política educativa del estudio, enriquecer los trabajos científicos que PISA exige e incorporar a los planteamientos, los análisis, la toma de decisiones y los propósitos de PISA, la sensibilidad y la consideración de las particulares circunstancias e intereses educativos de la región. Una de las virtudes más destacadas del Informe GIP es precisamente la de hacer posible la comparación entre los resultados obtenidos por los distintos países y regiones participantes, independientemente del tamaño de sus poblaciones, de los currículos impartidos o de otras circunstancias fundamentales de sus sistemas educativos. El Informe GIP trata de ofrecer, precisamente, una perspectiva comparada de los resultados en PISA 2006 de los países iberoamericanos participantes en el mismo. Toda la investigación científica supone un ejercicio de comparación. Sartori y Morlino (1994) afirman que la comparación permite ampliar los criterios de evaluación de una determinada teoría o hipótesis, especificar las condiciones en las cuales las proposiciones resultan correctas y alertar sobre posibles excepciones que surgen de contextos específicos. Las investigaciones con mayor potencialidad comparativa son aquellas que analizan similares intervenciones, resultados o procesos entre países, utilizando metodologías y datos análogos (Carnoy, 2006). En cuanto a qué comparar, en el campo de la educación la pregunta esencial apunta a establecer el conjunto de factores que favorecen ciertos resultados. Son frecuentes las discusiones acerca de si en la determinación de estos resultados debe priorizarse la calidad de la educación o los niveles de equidad social en los logros. Sin embargo, la experiencia demuestra que los países que han alcanzado los mejores resultados académicos son los que ostentan los más altos niveles de equidad, por lo que parece imprescindible considerar ambas dimensiones de forma conjunta. La selección de un grupo de países como referencia para la comparación puede responder a la cercanía cultural, a una historia o un contexto social, económico o político más o menos comunes, o a la confluencia de intereses a la hora de evaluar la política educativa en los distintos países. La conformación del GIP responde, en buena medida, a estos criterios. De todos modos, aun en este caso, el volumen de información internacional comparable del que se dispone en la actualidad permite tomar otras experiencias como parámetros relevantes de comparación (de ahí la inclusión de países externos al GIP). Para el presente informe, los países miembros del GIP han decidido realizar la comparación del siguiente modo: • Países del GIP: Argentina, Brasil, Chile, Colombia, España, México, Portugal y Uruguay. Se comparan con los de referencia. • Países de referencia: Finlandia, Canadá, Estados Unidos, Francia, Grecia, Italia, Japón, Corea, Kirguizistán y Qatar y promedios OCDE. • Regiones brasileñas, españolas y mexicanas, que se comparan con los promedios OCDE y los de sus respectivos países. Como en los capítulos siguientes no se hacen más referencias al conjunto de los países participantes en PISA 2006 y sus resultados globales, se ofrece en la siguiente tabla un resumen de dichos resultados en ciencias, matemáticas y lectura en todos los países.
Un aspecto clave para la colaboración entre los miembros del GIP está siendo la capacitación científica y técnica de los equipos responsables del estudio en cada país. La elaboración del presente informe ha constituido un excelente medio para la cooperación entre los países iberoamericanos y ha proporcionado a todos los responsables de PISA que han colaborado en él la oportunidad de conocer mejor el estudio y aprender sobre la realidad educativa de los países del GIP y sus regiones.
Vamos a resumir los aspectos más destacados de los resultados de los alumnos de los países iberoamericanos que han participado en PISA 2006 y su comparación con los resultados internacionales. Asimismo, consideramos que la información que PISA ofrece es muy valiosa para un mejor conocimiento del funcionamiento de nuestros sistemas educativos. No obstante, hay ciertos aspectos que aparecen como muy influyentes en los resultados de los alumnos, sobre los que PISA ofrece información insuficiente.
Las aportaciones de Pisa a la evaluación y el conocimiento de los sistemas educativos
Como ha sido expuesto en secciones anteriores de este documento, y en otros de la OCDE, varios son los objetivos planteados por PISA 2006. En primer lugar, PISA evalúa los conocimientos y las destrezas adquiridas por los alumnos de 15 años, entendidas como la capacidad de los estudiantes para extrapolar lo aprendido y aplicar sus conocimientos a nuevas situaciones y contextos. Con esta valoración del rendimiento de los alumnos se trata de ofrecer un elemento objetivo y comparable sobre el funcionamiento de los sistemas educativos. Además, PISA permite valorar la evolución en el tiempo del rendimiento de los alumnos en las competencias evaluadas. Pero quizás el objetivo más ambicioso de PISA sea el de proporcionar a los gobiernos elementos para evaluar el comportamiento de sus sistemas educativos e instrumentos que permitan su continua mejora. PISA continúa proporcionando a la comunidad educativa, en esta tercera aplicación de 2006, nuevos elementos de análisis y nuevas formas de abordar los resultados de los sistemas educativos en materia de calidad y equidad. En primer lugar, el aumento de la importancia de PISA se hace evidente en el creciente número de países que participan en sus evaluaciones. En 2009 se doblará el número de naciones con respecto a las que participaron en PISA 2000, al pasar de 32 a 65 países participantes. Por otra parte, PISA ofrece por primera vez la posibilidad de comparar de manera fiable la evolución de los resultados en comprensión lectora entre 2000 y 2009. Otro hecho destacable es la influencia notablemente positiva de la participación en proyectos internacionales de medición de la calidad de la educación sobre los sistemas de evaluación. Esto ha sido así gracias a las reflexiones llevadas a cabo durante el proceso de construcción y aplicación de las pruebas por los representantes de los países participantes y los expertos y técnicos convocados en la preparación de los marcos de la evaluación de PISA.
El nacimiento y desarrollo del GIP Como ejemplo de la colaboración Para la mejora de la evaluación y la educación El gran acervo informativo recogido en los trabajos de PISA, al igual que en los otros proyectos internacionales de medición de la calidad de la educación, ha facilitado el surgimiento de proyectos subregionales para un mejor aprovechamiento de sus resultados, incluyendo nuevos enfoques y usos de la información recolectada. Hay que resaltar que un ejemplo de lo citado es precisamente el nacimiento en 2005 del Grupo Iberoamericano de PISA (GIP), con varias aspiraciones, una de las cuales se ve cumplida con la elaboración del presente informe. En primer lugar, el Informe del GIP ofrece una perspectiva comparada de los resultados alcanzados en PISA 2006 por los países iberoamericanos participantes en esta prueba. Esto significa abordar el análisis concentrando la atención en un grupo de países con mayores puntos de encuentro en términos históricos, culturales, geográficos, educativos, económicos y sociales, aunque sin dejar de lado referentes de orden internacional que permiten establecer la situación y los retos de la educación en los países del GIP. Otra de las preocupaciones del GIP es resaltar dos aspectos centrales en el estudio de los sistemas educativos: la calidad de la educación y los niveles de equidad social en los logros. En la elaboración del Informe GIP hemos constatado la necesidad de analizar tanto los resultados alcanzados por los estudiantes de un país en materia de calidad como la distribución de estos aprendizajes entre los distintos grupos poblacionales, en función de la situación social, cultural y económica de las familias de los alumnos. De lo anterior se derivan, o deben derivarse, recomendaciones para las políticas educativas de mejora de la calidad de los aprendizajes y de la adquisición de competencias por parte de los estudiantes. Un tercer aspecto, igualmente importante, es el interés de los miembros del GIP en estimular la cooperación, la reflexión y la ayuda mutua entre los países iberoamericanos que participan en PISA. Ayuda que se ha venido dando especialmente en el desarrollo y la consolidación de los sistemas nacionales de evaluación de la calidad educativa, al igual que en la interpretación y el análisis de los resultados alcanzados. Para presentar las conclusiones de este informe se sigue el mismo orden en que se ha estructurado el documento: el contexto de los sistemas educativos, los rendimientos de los alumnos, el comportamiento de las variables del estudiante y la escuela, presumiblemente asociadas a los resultados académicos, y los factores asociados a la calidad de la educación en cada uno de los países participantes.
Los contextos de la educación en los países del gip En lo que a los contextos económicos y educativos de los países se refiere, el estudio deja ver mayores coincidencias entre los países del GIP, que los diferencian de otros países que participan en PISA, especialmente de los más desarrollados. Esto, sin duda, debe ser tenido en cuenta a la hora de analizar los resultados alcanzados por cada uno de los países en PISA 2006. Si bien podría considerarse la educación como un prerrequisito para alcanzar mayores niveles de desarrollo, también es cierto que, a mayor desarrollo, mayores serán los recursos disponibles para invertir en la mejora de la calidad del sistema educativo. Si se analiza el PIB per cápita, por ejemplo, en los países del GIP la producción por habitante equivale a la mitad de la registrada por los países de la OCDE. Más aún, si se tiene en cuenta que los países europeos que forman parte del GIP muestran niveles de ingresos muy superiores a los americanos, se hacen más evidentes las diferencias existentes. Lo anterior implica la necesidad de ampliar el espectro desde el cual analizar el comportamiento y los resultados de los sistemas educativos, puesto que algunos indicadores, considerados individualmente, pueden dar una idea equivocada de la verdadera situación. Tal es el caso del porcentaje del PIB dedicado a educación. Si bien los países del GIP dedican un porcentaje del PIB similar a los países de la OCDE o de referencia, son grandes las diferencias en términos del gasto por alumno. En los países del GIP dicho gasto por alumno se sitúa entre 1.000 y 2.000 dólares para los países americanos, cifra que sube hasta 6.000 dólares para el caso de países europeos del GIP, mientras que en otros países el gasto por alumno alcanza los 10.000 dólares. Dentro de las restricciones económicas antes presentadas, resulta importante destacar el avance que los países del GIP han logrado en materia de cobertura del servicio educativo. Con tasas iguales o superiores al 90 %, los países del GIP se encuentran muy cerca de alcanzar una de las principales Metas del Milenio, consistente en la universalización de la educación primaria. Este hecho pone de manifiesto la necesidad de avanzar en la inclusión de los niños cuyas edades corresponden a los niveles de preescolar o infantil y secundaria en los respectivos sistemas educativos. La mejora de la educación primaria deberá concentrarse en elevar la calidad de los aprendizajes, al igual que en reducir la repetición de cursos y la deserción. En algunos países del GIP la repetición o la deserción se sitúan aún en niveles muy elevados, lo cual no solamente afecta a los resultados generales en materia de calidad, sino también a la equidad, en la medida en que los niños más propensos a repetir el grado y a desertar de la escuela pertenecen, en su mayoría, a los estratos más desfavorecidos de la población. Durante las últimas décadas, la educación de la región ha sido testigo de fuertes vientos de reforma de los sistemas educativos, que han perseguido ampliar el acceso y mejorar la calidad de la educación. Dichas políticas educativas han tenido diferentes énfasis, no solo entre sus dos grandes componentes (calidad y cobertura), sino también diferentes estrategias para atender un mismo fin. Especialmente en el caso de la calidad, la cantidad de actores, elementos y procesos susceptibles de ser combinados es tal que el número de opciones de política se amplía. Esto, y la necesidad de tener en cuenta el contexto como factor determinante del éxito o fracaso de las políticas, hizo que la reforma educativa en los países de la región siguieran vertientes, propósitos y prácticas bastante diferentes entre sí. La importancia de la calidad de la educación como elemento potenciador del desarrollo y bienestar de la sociedad, al igual que como motor del progreso individual, hizo que los países volcaran sus esfuerzos en su mejora. Sin embargo, con algunas excepciones, con el paso de los años los esfuerzos parecen no traducirse en mejores resultados, y los indicadores que dan cuenta de la calidad parecen anclados en viejas prácticas que impiden avanzar. Esta es la perspectiva desde la que se ha abordado el estudio de los resultados académicos de los estudiantes del GIP: primero, desde el reconocimiento de sus debilidades y necesidades de mejoramiento; segundo, desde una mirada retrospectiva frente a los esfuerzos desarrollados y los logros alcanzados. el rendimiento de los alumnos del GiP El promedio de la OCDE en la escala general de ciencias es de 500 puntos, puntaje que no alcanza ninguno de los países del GIP (426 puntos de promedio), mientras que los países latinoamericanos no superan los 438 puntos. Los países de la OCDE tienen en promedio un 19 % de estudiantes que no alcanzan el Nivel 2, es decir, estudiantes que tienen un nivel de competencia insuficiente, a juicio de PISA, para afrontar con éxito las demandas sociales y laborales y poder ejercer los derechos, libertades y responsabilidades de una ciudadanía activa en las sociedades del conocimiento del siglo xxi. En particular, estos estudiantes confunden hechos con creencias personales al tomar una decisión, confunden rasgos clave de una investigación o aplican mal la información científica que reciben. Si se consideran los requerimientos de competencias científicas en el mundo actual, nuestros países tienen un arduo desafío que no se puede eludir. Entre los países del GIP, los porcentajes de alumnos por debajo de ese Nivel 2 van del 19 % al 60 %. España (con 19 %) y Portugal (con 24,5 %) tienen porcentajes similares al promedio de los países más avanzados. En los países de Latinoamérica la situación es gravísima: Brasil, Colombia, Argentina y México tienen más de la mitad de sus estudiantes por debajo del Nivel 2, en tanto que Chile y Uruguay arrojan porcentajes cercanos a 40 %. En el otro extremo del desempeño, los países de la OCDE tienen en promedio un 9 % de estudiantes en los dos niveles superiores (5 y 6), mientras que para los países del GIP este promedio es solo de 1,7 %. Cabe señalar las diferencias que existen en los porcentajes de los países del GIP: así, mientras que en España y Portugal son del 5,8 % y 3,1 %, respectivamente, en cuatro de los países latinoamericanos el número de alumnos en estos niveles no llega al 1 % y en dos no alcanza el 2 %. Las perspectivas sociales y laborales de los jóvenes mejoran de modo muy notable cuando sus niveles de competencia lectora a la edad de 15 años son mayores, como pone de manifiesto un estudio canadiense sobre las posibilidades de éxito de los jóvenes en la educación superior. Si se consideran las posibilidades de éxito de los jóvenes que alcanzaron un nivel de rendimiento igual o inferior a 1 en la escala de PISA, el estudio muestra que dichas posibilidades de éxito se multiplican por dos para los estudiantes del Nivel 2, por 4 en el caso de los estudiantes del Nivel 3, por ocho en los de Nivel 4 y por dieciséis para los de los Niveles 5 y 6. La situación parece ser igualmente desfavorable en Iberoamérica si se consideran las subescalas de contenidos en ciencias: sistemas de la Tierra y el espacio, sistemas biológicos y sistemas físicos. Sin embargo, resulta interesante e ilustrativo señalar que España y Portugal tienen un área más débil que las demás, sistemas físicos, a la cual se debería prestar especial atención. Brasil, Uruguay y Colombia tienen debilidades en los sistemas de la Tierra y el espacio, pero al mismo tiempo tienen mejor desempeño en sistemas biológicos. Estos países podrían examinar sus currículos, así como las competencias docentes en estas áreas. Los otros países tienen diferencias más leves, aunque se puede decir que Argentina y Chile tienen un relativo y escaso mejor desempeño en sistemas biológicos, mientras que México tiene uno inferior en estos contenidos. Por otra parte, si bien los resultados de calidad educativa presentados por los países del GIP están por debajo de los niveles internacionales, especialmente de los requeridos para insertarse en un mundo globalizado, algunos aires de cambio empiezan a insinuarse. Los resultados de PISA y del Segundo Estudio Regional Comparativo y Explicativo SERCE (LLECE-UNESCO, 2008) parecen sugerir que, en algunos países, los esfuerzos de mejora comienzan a dar importantes frutos. No obstante, conviene resaltar que la situación actual es el resultado de largos procesos que se remontan, al menos, a mediados del siglo xx, y en los que influyeron factores tan importantes como el fuerte crecimiento demográfico de algunos de los países del GIP entre 1950 y 2000, las etapas de muy diferente crecimiento económico que hubo en ese lapso, con períodos de fuerte crecimiento y épocas de estancamiento; en algunos casos, los períodos de regímenes autoritarios, con consecuencias a veces devastadoras, pero también con algunos puntos de consecuencias positivas para la educación. Algunos de los resultados de PISA que sorprenden se relacionan con el comportamiento que muestran los estudiantes de los países del GIP respecto a temas como el compromiso, aprecio y percepciones respecto de las ciencias. Cuando se esperaría una relación directa entre tales aspectos y los resultados en ciencias, los estudiantes de los países del GIP, especialmente los latinoamericanos, tienen índices superiores a los países de la OCDE en aquellas actitudes que deberían favorecer el aprendizaje. Más aún, en algunos casos las actitudes favorables se asocian negativamente con el desempeño. Esto sucede con las actividades relacionadas con las ciencias, con el valor personal de las ciencias y con la motivación instrumental hacia las ciencias. Surge entonces la duda de si no hay algún aspecto cultural en los países latinoamericanos que haga que sus estudiantes tengan actitudes aparentemente positivas hacia las ciencias, pero inconsistentes con el desempeño en esta disciplina. Es posible también que influya la presencia de expectativas inferiores por parte de los jóvenes de algunos países del GIP, así como una mayor tendencia a dar respuestas socialmente deseables a preguntas sobre actitudes.
La equidad, los contextos sociales, económicos y Culturales y otros factores asociados a la Calidad de la educación El análisis de la equidad en materia de resultados destaca la importancia de los gradientes socioeconómicos (ESE) en el interior de las escuelas y entre ellas, los cuales ilustran la relación entre los puntajes obtenidos por los estudiantes en ciencias y su nivel socioeconómico. De esta forma, el nivel socioeconómico de las familias de los estudiantes deja de ser una variable meramente instrumental, empleada para determinar el efecto neto que las variables del estudiante y de la escuela tienen sobre los niveles de desempeño, para convertirse en un instrumento de política educativa. Incrementar en un punto el nivel socioeconómico de los estudiantes significa elevar su nivel de desempeño en ciencias entre 6 y 23 puntos, dependiendo del país. Esta conclusión nos lleva a plantear cinco estrategias de mejora de los resultados de los estudiantes. • Intervenciones focalizadas en escuelas de bajos desempeños, priorizando la asistencia a los estudiantes de los estratos más bajos. • Intervenciones centradas en escuelas de bajo estatus social, económico y cultural, que por ende recogen buena parte de las escuelas de bajo desempeño. • Programas compensatorios, dirigidos a los estudiantes de los entornos menos favorecidos, tendentes a aliviar los efectos de la pobreza sobre la asistencia, la permanencia y los resultados de los estudiantes en la escuela. • Intervenciones universales, derivadas de decisiones de políticas nacionales o locales que pretenden mejorar los resultados de todos los estudiantes. • Intervenciones inclusivas, tendentes a reducir la segregación que existe entre escuelas redistribuyendo estudiantes de bajo ESE en escuelas de nivel medio. En el análisis de los factores asociados al desempeño de los estudiantes de los países del GIP en PISA 2006, por su parte, se proponen diez variables que se agrupan en los cinco aspectos fundamentales: 1) calidad de la enseñanza; 2) nivel de enseñanza apropiado; 3) tiempo dedicado al aprendizaje; 4) compromiso del estudiante, y 5) recursos de la escuela. Los resultados de PISA en los países del GIP ofrecen sustento a la idea de que, sin desconocer la importancia que tienen sobre el rendimiento escolar los factores del entorno familiar y social de los alumnos, los factores de la escuela tienen también un peso significativo que debe ser aprovechado para el diseño de políticas de mejora. El grado de desarrollo efectivo del currículo en las escuelas es el factor más sólidamente asociado a los resultados en ciencias de los países del GIP. En primer lugar, porque es el único que, estadísticamente hablando, funciona en todos los países. En segundo lugar, por la magnitud de su efecto, en términos de lo que el aumento de un punto en el desarrollo efectivo del currículo tiene sobre los resultados académicos. En tercer lugar, porque la dirección del efecto es la misma en todos los países. Este hallazgo resulta de vital importancia, no solo para los países considerados individualmente, sino también para todos aquellos espacios de cooperación multilateral para el mejoramiento de la calidad de la educación. El estudio también destaca la importancia del tiempo dedicado a la enseñanza de las ciencias en la escuela como factor determinante de los aprendizajes de los estudiantes. Esto actúa en la misma dirección señalada para el currículo, en la medida en que eleva las oportunidades de aprendizaje brindadas por las escuelas y los sistemas educativos a sus estudiantes. Por último, entre los factores destacables por su efecto sobre los resultados en ciencias se encuentran los recursos escolares y el tamaño de la clase. Este último dato es de interés, dada la importancia que han tenido recientemente las discusiones sobre la influencia del tamaño de la clase en los resultados de los alumnos. La investigación lleva a concluir que el tamaño de la clase solo es relevante si se trata de cambios fuertes, de tamaños muy grandes a mucho menores, y si la reducción del tamaño va acompañada de cambios en las estrategias docentes. En los países del GIP hay casos en los que el tamaño promedio de los grupos es mucho mayor que en el promedio de la OCDE, lo que hace que el factor sí tenga un peso significativo en los resultados de los alumnos. Se justificarían, pues, esfuerzos para modificar esa situación, pero deberían ir acompañados de lo necesario para que los docentes puedan utilizar estrategias pedagógicas más productivas.
Mirando al futuro La elaboración del presente Informe GIP ha sido enormemente provechosa para los que en ella hemos colaborado. Primero, por los beneficios técnicos y científicos y los aprendizajes que nos ha proporcionado la colaboración. Segundo, por los datos que PISA ofrece para el conocimiento de nuestros sistemas educativos, que se hacen más relevantes cuando el punto de vista es, como en nuestro caso, el comparado. Tercero, y no menos importante, por lo que nos ha permitido aprender sobre la información que PISA (así como las otras evaluaciones nacionales e internacionales que conocemos) no nos ofrece de modo satisfactorio. Es fundamental seguir trabajando e investigando para que mejore PISA y aporte más luz sobre determinadas cuestiones. Son muy ilustrativos los diferentes resultados educativos de las regiones o las comunidades autónomas españolas. En todos los casos, parece que los aspectos esenciales de los sistemas educativos que son comunes a dichas regiones, como el currículo básico o la formación inicial del profesorado, no permiten explicar dichas diferencias en los resultados. Por otra parte, los contextos sociales económicos y culturales condicionan de modo destacado los rendimientos de los alumnos. Todas las líneas de regresión consideradas (de países y regiones) tienen pendiente positiva, es decir, los rendimientos mejoran con el estatus socioeconómico. Ahora bien, este no es determinante: en todos los países y regiones hay alumnos y escuelas de contextos modestos con muy buenos resultados, y viceversa. Por tanto, hay factores que deben explicar las diferencias de rendimiento, a veces muy notables, entre alumnos y escuelas de similares condiciones sociales, económicas y culturales, factores que deben estar asociados a las escuelas, los alumnos y las familias. Esta constatación pone de manifiesto que se debe mejorar y complementar PISA y, en general, las evaluaciones externas de modo que puedan ofrecer más detallada y mejor información sobre la influencia de la organización y el funcionamiento de las escuelas, el trabajo de los equipos docentes y los procesos de aula en los resultados de los alumnos y, de modo relevante, el valor añadido que escuelas y equipos docentes ofrecen en los aprendizajes de sus alumnos. No obstante, no es posible que las evaluaciones externas puedan resolver todos los interrogantes que la mejora de la educación plantea. PISA confirma que es imprescindible enriquecer el conocimiento de los sistemas educativos mediante el uso de medidas directas, internas y aplicadas en centros y aulas, con los profesores, cuantitativas y cualitativas, y con todos los medios precisos. Se trata de poner a disposición de programas ambiciosos de evaluación todo aquello que mejor puede explicar el éxito de alumnos y escuelas. Finalmente, debemos resaltar que una de las lecciones más provechosas de PISA, de cara a las políticas y acciones de mejora, es que son de la mayor utilidad aquellas acciones concretas destinadas a los alumnos que requieren apoyo y especial dedicación: esas escuelas y esos alumnos que, perteneciendo a los contextos sociales, económicos y culturales más modestos obtienen excelentes resultados, son el mejor ejemplo de que en esos contextos se puede y se debe trabajar y que el fruto de ese trabajo específico puede ser muy superior al de declaraciones, políticas y recursos generales, no específicos. En resumen, enumeramos a continuación algunos de los retos para el futuro que sugiere el análisis de los resultados de los países iberoamericanos en PISA 2006. 1. Deberían incorporarse a las evaluaciones externas los instrumentos que permitan mejorar el conocimiento y la influencia sobre los resultados de los alumnos de: – los procesos de aula y de escuela; – el funcionamiento de los equipos docentes y las estrategias individuales y colectivas de los profesores; – la organización escolar, la autonomía de la comunidad educativa y su corresponsabilidad en la enseñanza; – la implicación de los distintos agentes educativos y, particularmente, de las familias; – la actitud de los alumnos y de las familias ante el aprendizaje. 2. Es primordial avanzar en la medida del valor añadido que escuelas y profesores son capaces de incorporar en los aprendizajes de sus alumnos. 3. Se deberían afinar los instrumentos de medida de modo que permitan un análisis más preciso de las circunstancias más adversas y de los entornos económicos y sociales más diversos. 4. Parece imprescindible añadir a las políticas generales de mejora, destinadas al conjunto de las escuelas y de los alumnos, políticas y acciones específicas destinadas a mejorar las circunstancias de escuelas concretas, y los entornos de aprendizaje de los alumnos que requieren apoyos y esfuerzos determinados. Puede mencionarse, para terminar, un avance que ya ha sido tomado en cuenta para la aplicación de PISA 2009, y que se debió a una propuesta del GIP, el relativo a la inclusión de ítems de baja dificultad, en la forma de cuadernillos opcionales que pueden aplicar los países cuyos jóvenes de 15 años de edad han obtenido resultados muy por debajo de la media de la OCDE, como es el caso de los países latinoamericanos del GIP. Dada la alta dificultad de la mayoría de los ítems utilizados en las aplicaciones de PISA de 2000 a 2006, en dichos países alrededor de la mitad de los jóvenes se ubicaron por debajo del Nivel 2 en todas las competencias medidas por PISA, lo que significa que no han desarrollado las competencias indispensables para desenvolverse con éxito en una sociedad avanzada. Como se ha explicado ya, lo anterior constituye un problema serio que los sistemas educativos no pueden ignorar, pero para enfrentarlo es necesario tener más información sobre qué pueden hacer esos jóvenes, y no solo sobre qué no son capaces de hacer. Para ello es necesario que las pruebas de PISA cubran una gama más amplia de niveles de competencia, lo que se conseguirá con la opción introducida en 2009. Conviene precisar que el optar por utilizar algunos cuadernillos con ítems de baja dificultad no impedirá que los resultados de los países que tomen esa decisión puedan compararse con los demás, ni tampoco se pondrá en riesgo la comparabilidad de los resultados en el tiempo. La importancia de este avance de PISA es considerable, sobre todo si se tiene en cuenta que muchos de los países que se están incorporando a estas evaluaciones tienen niveles de desarrollo general y educativo inferiores a los que caracterizan, en promedio, a los miembros de la OCDE y a algunos países asiáticos o europeos que no pertenecen a esa organización.
Nivel socioeconómico y rendimiento en los países del Gip De acuerdo con el informe internacional de PISA, y de manera coincidente con muchas otras investigaciones, el origen socioeconómico de los alumnos parece tener una poderosa influencia sobre sus resultados escolares. La escasa variación de los resultados de los alumnos entre escuelas ha hecho pensar que la aportación de estas es más reducida, si bien hay que tomar con cautela esta idea, dada la insuficiente calidad de las mediciones de los factores escolares y de las metodologías utilizadas habitualmente para valorar su influencia. Aunque en todos los países hay una alta correlación entre el ESE y el desempeño, algunos muestran que la equidad y la alta calidad pueden ir juntas. Las estrategias para lograr esta meta deben diseñarse de acuerdo con las características de cada país. También en el GIP el origen socioeconómico de los alumnos tiene un efecto notorio sobre su rendimiento en la mayoría de los países. Asimismo, este indicador muestra una gran variación entre los países participantes en PISA, siendo evidente que los estudiantes de los países de la OCDE tienen unas condiciones de vida notablemente superiores en los aspectos económicos, sociales y culturales que aquellos de los países del GIP. No todos los estudiantes aprenden en la misma medida dado que las capacidades y las potencialidades no son idénticas para todos.
Sin embargo, cuando el aprendizaje varía según el ESE de la familia, esto puede ser señal de inequidad. Más aún, cuando se observa que esta distribución desigual de conocimiento está relacionada no solo con diferencias entre los niños, sino que existen grandes diferencias entre las escuelas, el que las escuelas no produzcan resultados similares puede deberse al efecto combinado de las carencias del hogar y las de la escuela, lo que significa que la sociedad no ofrece a todos los estudiantes las mismas oportunidades de aprender. A pesar de compartir ciertas características de contexto y culturales, los países miembros del GIP muestran diferencias considerables en lo que se refiere al ESE, apreciándose, por un lado, que hay países con una mayor variabilidad socioeconómica al interior, con una gran diferencia entre los valores más altos y más bajos del ESE (México y Portugal), y otros, como Brasil, que exhibe una menor diferencia al interior, pero tiene el promedio más bajo del índice, así como las menores diferencias entre valores extremos del mismo (percentiles 5 y 95), lo que indica que su población en general está mucho más empobrecida que en el resto de los países comparados. El ESE influye fuertemente, por tanto, en el puntaje que obtienen los alumnos en ciencias en todos los países del GIP, como también en el promedio de la OCDE, aunque se aprecian diferencias en la magnitud de esta relación para los distintos países. Si se analiza el promedio que cada país tendría en la escala de ciencias si el ESE fuera igual al promedio de la OCDE, se observa que los puntajes de todos los países del GIP aumentarían. Sin embargo, excepto España, los otros países ni siquiera así llegan al promedio de la OCDE, lo que demuestra que no todo se debe al inferior ESE. En el informe internacional de PISA se muestra una regresión bivariada entre el rendimiento en ciencias y el ESE de los estudiantes. Se observa que los mayores porcentajes de varianza en el rendimiento explicada por el ESE están en Chile, Argentina y Uruguay (de 18,3 % a 23,3 %). El efecto de una unidad del índice ESE en el puntaje de ciencias es alto y significativo para Uruguay, España y Brasil (de 30 a 34 puntos). Esto significa que en estos países por cada unidad que aumente el ESE de los estudiantes, su puntaje aumentaría en 30 puntos aproximadamente. El hecho de que el ESE tenga fuertes efectos sobre el rendimiento de los estudiantes implica que el sistema educativo no es exitoso en cuanto a ofrecer a todos los estudiantes oportunidades de aprender apropiadas y equitativas. Mejorar tanto en calidad como en equidad es uno de los mayores retos que enfrentan los sistemas educativos, y PISA ha mostrado que hay países que han conseguido tener altos rendimientos independientemente del origen de sus estudiantes, es decir, con equidad. Los gradientes socioeconómicos del desempeño de los estudiantes y los perfiles de escuela, que se presentaron a lo largo del presente capítulo, aclaran más el panorama de cada sistema educacional. Para los países latinoamericanos en general, el gradiente1 socioeconómico es convexo; es decir, que tiene distinta tasa de crecimiento: más lento al inicio (menos influencia del ESE en el rendimiento) y más rápida al final (más influencia). En cambio, para los países de la OCDE (España y Portugal) el gradiente es lineal. En los gráficos de perfiles se observa que para la mayoría de los países latinoamericanos 2 los colegios privados tienden a concentrarse a la derecha del eje ESE (alto nivel socioeconómico) y en la parte superior del gráfico (alto rendimiento). En Portugal hay pocos colegios privados y están repartidos en los distintos valores del ESE y en la parte superior del rendimiento. En España hay muchos colegios privados, con comportamiento similar al de Chile. El comportamiento de los colegios rurales es el opuesto, concentrándose en la parte inferior de la escala de rendimiento y en el nivel bajo del ESE (en el cuadrante inferior izquierdo de los gráficos) para la mayoría de los países con excepción de Portugal y, en menor medida, de Uruguay y Brasil. Es importante, por otra parte, el análisis de la proporción de la varianza de los resultados que se sitúa dentro de cada escuela, en comparación con la varianza entre unas escuelas y otras. En la OCDE un 33 % de la varianza en el rendimiento se da entre las escuelas. Entre los países del GIP, Argentina y Chile son los que muestran mayor diferencia en el rendimiento de los estudiantes entre las escuelas (53 %, que equivale a 1 ½ veces más que en el promedio de la OCDE). Menor varianza entre escuelas que en el promedio de la OCDE existe en Colombia, México, Portugal y, especialmente, en España, donde no alcanza a la mitad, con una situación bastante parecida a la observada en los países nórdicos. En este contexto, en España, más que en cualquier país del GIP, para los padres no supone tanta diferencia enviar al hijo a una escuela o a otra, en cambio en los países del GIP sí representa una gran diferencia. Por otro lado, respecto a la varianza en el rendimiento al interior de las escuelas, que en la OCDE es del 68 %, España muestra la mayor diferencia, es decir, dentro de una misma escuela se encuentran estudiantes con muy mal rendimiento junto con otros de rendimiento extraordinario. Por el contrario, la menor variación al interior de las escuelas se observa en México. De entre todos los países del GIP, Chile es el único donde la varianza entre las escuelas es mayor que la varianza al interior de las escuelas. Esto es particularmente grave, pues muestra que el sistema educacional chileno es más inequitativo, ya que la escuela a la que el niño vaya es muy determinante de su rendimiento. Además, el sistema chileno es segregado, ya que las escuelas atienden a niños que son similares entre sí y muy distintos de los de otras escuelas, como lo demuestra el porcentaje de varianza entre escuelas. Esto es un factor explicativo de que los niños de una escuela tengan mucha más diferencia de rendimiento con los estudiantes de otras escuelas que con sus propios compañeros. Esta situación, que puede ser considerada una condición estructural del sistema educativo, puede ser atribuida a varios factores, por ejemplo, las decisiones de las familias o el lugar de residencia, el nivel socioeconómico de los estudiantes que ingresan en las escuelas, así como también políticas de agrupación o selección de estudiantes o la separación de los estudiantes con diferentes currículos, distinguiendo entre formación académica y profesional. En otras palabras, hay un «valor» que la escuela agrega o resta a cada estudiante en particular. En este capítulo se muestran los gráficos que permiten examinar la distribución de los centros escolares según los distintos factores del modelo utilizado. Desgraciadamente, en general solo dos factores tienen influencia significativa en el rendimiento y, salvo para el caso del factor calidad de la enseñanza, también tienden a estar relacionados con el ESE, con lo cual no se sabe cuánto favorecen o no por sí solos. La información que se tiene permite analizar aspectos de igualdad-equidad, que ayudan a entender la realidad de los países. Al analizar el conjunto del GIP, se observa que en la categoría de «bajo ESE», aunque se definió como el 25 % más bajo de los alumnos latinoamericanos, el porcentaje de estudiantes así catalogados varía bastante por país. Junto a lo anterior, se observa que el porcentaje de «bajo rendimiento» (Nivel 1 e inferior) en lectura3 bordea o excede el 50 % en la región, salvo para Chile, Portugal y España (ver Gráfico 4.99). En el mismo gráfico, la línea roja representa el porcentaje de alumnos con bajo ESE, observándose que en Brasil y México la cifra ronda el 40 %, mientras que en España es inferior al 20 %, en Argentina, Chile y Uruguay se sitúa entre el 20 % y 30 %, y en Colombia y Portugal un poco por encima del 30 %. La línea azul, por su parte, representa el porcentaje de estudiantes evaluados en PISA 2006 que se ubicó en el Nivel 1 de desempeño o por debajo del mismo. En este caso, solo España y Portugal tienen porcentajes inferiores al 30 %; Chile entre el 30 % y el 40 %, México y Uruguay cerca del 50 %, y Argentina, Brasil y Colombia cerca del 60 %. Gráfico 4.99 Porcentaje de alumnos con bajos resultados en PISA y con bajo ESE en los países del GIP La región posee altos índices de segregación socioeconómica (porcentaje de la varianza de ESE que hay entre centros escolares). En el Gráfico 4.100 esto se representa mediante la línea roja, que muestra cifras superiores al 30 % para todos los países latinoamericanos, con Chile rondando el 50 %, mientras que Portugal tiene el 30 % y España se sitúa cerca de la media de la OCDE (24 %). El mismo gráfico muestra la proporción de la varianza de los niveles de logro que se debe a diferencias entre los centros escolares, proporción que es más del 50 % en Chile y más del 40 % en Argentina, Brasil, México y Uruguay. Cerca de la media de la OCDE (36 %) se sitúan Colombia y Portugal; y muy por debajo de ella España, con menos del 20 %. Gráfico 4.100 Porcentaje de la varianza entre centros escolares del ESE y de los niveles de logro en los países del GIP En el Gráfico 4.101 se observa que en la región el gradiente de las rectas de regresión entre logro escolar y ESE dentro de los centros escolares es muy bajo en todos los países del GIP (menos de 15 o incluso de 10 puntos salvo en Portugal y España, donde es cercano a 20). Esto quiere decir que dentro de cada escuela el nivel de logro no está fuertemente asociado al ESE. En cambio el gradiente de esas rectas entre unos centros escolares y otros es altísimo (sobre 45 puntos para todos los países, y más de 70 en los casos de Argentina, Chile y Uruguay). Esto debe entenderse en el sentido de que hay grandes desigualdades de rendimiento entre unas escuelas y otras. La probabilidad de tener bajo rendimiento para un alumno de bajo nivel de ESE, en comparación con uno de un nivel promedio o superior (el «riesgo relativo»), es 1,4 veces más alta en la región, y más de 2 veces superior en España y Portugal. Siendo así, no sería suficiente subir el nivel del ESE de la región para obtener buenos resultados. Al calcular cuánto disminuiría la prevalencia de los bajos rendimientos («riesgo atribuible a la población») si se eliminara el factor de riesgo (bajo ESE), se observa que, a lo más, la proporción de alumnos de bajo rendimiento podría disminuir alrededor de un 33 % en Portugal, y en el resto de los países del GIP esa proporción de alumnos de bajo rendimiento podría disminuir en menos de una quinta parte o 20 %. ConsiderAciones finAles soBre el Análisis de los fActores AsociAdos Los informes internacionales de PISA, así como los derivados de trabajos de evaluación que se llevan a cabo en muchos sistemas educativos nacionales, permiten precisar los niveles de rendimiento de los alumnos en algunas áreas y en ciertos momentos del trayecto escolar, así como algunos factores asociados con dicho rendimiento, incluyendo variables del entorno familiar de los estudiantes y otras relativas a recursos y procesos de las escuelas. Estos informes son importantes, ya que permiten conocer la distribución de resultados educativos dentro de las escuelas y entre ellas, examinar tendencias en los resultados de los estudiantes, evaluar el grado de desigualdad de los resultados educativos entre grupos étnicos, clases sociales o sexos, y distinguir el grado en que el desempeño de los estudiantes está asociado con características del entorno y del sistema educativo. En este capítulo, utilizando datos de PISA 2006, se ha intentado caracterizar el desempeño de los sistemas escolares de los países de Iberoamérica que participaron en ese ejercicio, dar algunas indicaciones de por qué unas escuelas tienen más éxito que otras y analizar las implicaciones de los resultados para las políticas educativas. No obstante, PISA tiene limitaciones importantes, que conviene tener presentes al interpretar sus resultados. Unas limitaciones se refieren a las pruebas con las que PISA mide el rendimiento de los alumnos. Aunque diseñadas cuidadosamente con las metodologías más avanzadas al respecto, la gran diversidad de las circunstancias de los estudiantes de los países que participan, sobre todo en el terreno cultural, plantea retos considerables para asegurar la validez de los resultados. En particular, debe señalarse que las pruebas no fueron diseñadas para evaluar habilidades en niveles muy bajos; y dado que en la mayor parte de los países incluidos en este análisis hay muchos estudiantes que tuvieron calificaciones por debajo del Nivel 1, las puntuaciones resultantes pueden no ser muy precisas para ellos. Es probable que la calificación real de esos alumnos sea más baja que la calculada por PISA, puesto que están en el piso de la prueba o muy cerca de este. De ser así, la forma y el nivel de los gradientes calculados se verán afectados. Otras limitaciones tienen que ver con la forma en que se obtiene la información sobre las variables del entorno y la escuela asociadas al desempeño de los estudiantes. Varias de las medidas utilizadas para evaluar los elementos del modelo de aprendizaje que utiliza PISA son de dudosa calidad, al basarse en las opiniones subjetivas de alumnos y directores, quienes responden a un número limitado de preguntas. La opinión de los directores al referirse a la suficiencia de los recursos con que cuenta su escuela o al grado de responsabilidad pública de la misma no siempre es confiable. En cuanto a las variables medidas a partir del punto de vista de los estudiantes, la relativa a la calidad de la enseñanza se derivó únicamente de dos preguntas sobre las percepciones de los estudiantes respecto a si sus maestros y las materias que estudiaban en la escuela les brindaban las habilidades necesarias para una carrera relacionada con la ciencia. Las medidas de la cobertura del currículo y del tiempo dedicado a la enseñanza parecen mejores, pero las respuestas a las preguntas sobre el interés de los alumnos por las ciencias y la relevancia de estas presentan comportamientos extraños, que sin duda se relacionan en parte con el nivel mismo de desempeño de los que responden, y posiblemente se deban también a diferencias culturales. Las limitaciones de los datos, tanto de las competencias de los alumnos, como de los factores del entorno y la escuela asociados con ellas, tienen consecuencias obvias para la solidez de las conclusiones a las que se puede llegar mediante su análisis; otras limitaciones tienen que ver con los modelos analíticos. Algunos estudios sobre la efectividad de las escuelas dan estimaciones de la proporción de la varianza de los resultados de los alumnos dentro de las aulas y entre las aulas de una misma escuela, así como entre unas escuelas y otras. En la mayor parte de los países, en general, la proporción de la varianza entre aulas es mayor que la que hay entre escuelas (Scheerens, Vermeulen y Pelgrum, 1989). En los estudios de PISA, sin embargo, no se recogen datos en el nivel de las aulas, lo que es una limitación significativa ya que, por ejemplo, cuando los alumnos responden a preguntas sobre la calidad de la enseñanza que reciben, tienen que valorar de alguna manera su experiencia promedio al respecto, teniendo en cuenta los diferentes cursos que están recibiendo. Los análisis que buscan detectar el efecto de variables del ámbito de la escuela –como el tamaño de la clase o la calidad de la enseñanza– se refieren a los grupos existentes y al ambiente escolar prevaleciente en el momento de la aplicación de las pruebas, así como a los cursos que se impartían en ese momento y los maestros que se encargaban de ellos; la puntuación en una prueba de desempeño, en cambio, representa el resultado acumulado de la escolaridad previa, así como de factores del entorno que influyen en el desarrollo de las competencias de los jóvenes desde su nacimiento. Los análisis hechos suponen que el clima y la cultura de la escuela son relativamente estables en lapsos de varios años, lo que puede ser verdad o no. Los comentarios de los párrafos anteriores no demeritan el valor de los resultados de PISA, pero sí señalan la necesidad de perfeccionar la calidad de los instrumentos y de los diseños de los estudios. Dadas las limitaciones de todo estudio transversal, debe subrayarse la necesidad de emprender estudios que sigan en forma individual a ciertos alumnos a lo largo del tiempo, para poder valorar la forma en que se desarrollan las competencias y poder hacer análisis del valor agregado por la escuela. Debe añadirse que los estudios internacionales, que aportan elementos insustituibles al permitir comparar la situación de un sistema educativo con la de otros, no pueden satisfacer todas las necesidades de los tomadores de decisiones. Por ello, además de una participación activa en esos proyectos, que permita hacerlos cada vez mejor, es necesario que cada país desarrolle sus propias evaluaciones.
Argentina En el Gráfico se observa que el gradiente socioeconómico de los alumnos de Argentina tiene una pendiente bastante pronunciada (150 puntos de diferencia entre los alumnos que se encuentran entre el percentil 5 y el 95 de ESE). Dicho gradiente socioeconómico es casi paralelo al gradiente de OCDE, pero se ubica muy por debajo de este, no superando el Nivel 2. Se observa claramente que el 25 % de los estudiantes argentinos tiene un nivel socioeconómico bajo, inferior a 21,5 de la escala OCDE. Si observamos a los alumnos pertenecientes a este grupo se aprecia que solo un porcentaje mínimo de ellos supera apenas el Nivel 2, considerado como línea base para esta competencia. Respecto de las escuelas, se observa en el Gráfico 4.5 una gran variabilidad entre ellas. Es necesario resaltar que entre las escuelas estatales tienen menor rendimiento aquellas de menor tamaño y, a diferencia de otros países, no todas ellas son del ámbito rural. No hay ninguna escuela que alcance en promedio el Nivel 4 o más. Las escuelas privadas en su mayoría tienen Niveles 2 y 3 de desempeño, aunque esta situación depende en gran medida del ESE de sus alumnos. Por su parte, las escuelas estatales están por debajo del Nivel 3, salvo algunas que atienden a población con mejor ESE. En el Gráfico 4.6 sobre los recursos de aprendizaje, una vez ajustado el modelo lineal jerárquico de dos niveles, son cuatro los factores que son significativos a nivel escuela:
Argentina tiene una puntuación media de 6,77 y varía aproximadamente entre 4,5 y 8,7. Es decir, los estudiantes argentinos en la mayoría de las escuelas respondieron positivamente a este indicador. La puntuación media de Argentina está apenas por encima de la media de la OCDE de 6,18. Un dato llamativo es que, al ajustar el modelo lineal jerárquico, el efecto de la calidad de la enseñanza percibida por los alumnos en la escuela es alto pero negativo. Esto está indicando que a medida que aumenta la percepción de los alumnos respecto a la calidad de la enseñanza disminuye el nivel de desempeño en ciencias. Tal vez ayude a entender este comportamiento observar la correlación entre este indicador y el nivel socioeconómico de los alumnos, que es de 20,51.
Análisis de los principAles fActores AsociAdos A los resultAdos en cienciAs
Como esta medida surge de la opinión de los alumnos, se podría inferir que aquellos de sectores más vulnerables valoran más la escuela como transmisora del conocimiento que aquellos de sectores menos vulnerables. Cobertura del plan de estudios
La puntuación promedio de Argentina es para este factor de 6,52, que está por debajo del promedio de la OCDE (7,12). Es de destacar, sin embargo, que el efecto de este factor es el más alto de todos los países del GIP. Del análisis se desprende que un cambio pequeño en este factor, cuando se mantienen constantes los otros factores, puede resultar en un importante efecto sobre el desempeño en ciencias.
Recursos de la escuela
El promedio de Argentina es de 5,31 y está por debajo del promedio de la OCDE de 6,87. El indicador presenta una gran dispersión, con varias escuelas por debajo de 5. Sobre equidad e igualdad del sistema, es significativamente mayor el porcentaje de alumnos con bajo desempeño en lectura que el de los alumnos con bajo ESE. Es decir, un alto porcentaje de alumnos con medio o alto ESE tienen bajo nivel de lectura. El 45 % de la variación de los resultados en lectura se debe a diferencias entre escuelas, por debajo de la OCDE, cuyo valor es del 36 %. También se observa que el 36 % de la variación del ESE entre escuelas es más alto que el promedio de la OCDE del 24 %, lo que indica más heterogeneidad respecto a este indicador entre las escuelas. La pendiente del gradiente dentro de las escuelas es baja, indicando poca relación entre el ESE y el desempeño en lectura. Por el contrario, es alta la pendiente del gradiente entre escuelas, reflejando que hay una marcada segregación de los alumnos entre las escuelas. Respecto al riesgo relativo asociado a pertenecer al ESE bajo es de 1,43. Esto significa que el riesgo de tener una baja habilidad para alumnos de bajo ESE es 1,43 veces el de un alumno de nivel socioeconómico medio o alto. Por otro lado, el riesgo atribuible a la población es del 10 %, es decir, que el 90 % de los alumnos con bajo rendimiento no pertenecen al estrato bajo del ESE.
DEFINICIÓN DEL ÁREA DE EVALUACIÓN
El área de definido por PISA hace referencia a la capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemáticos en diversas situaciones. En lugar de limitarse al tipo de situaciones y problemas que suelen encontrarse en las aulas, la evaluación PISA se centra en los problemas del mundo real. En un entorno real, los ciudadanos han de hacer frente a una serie de situaciones al ir de compras, viajar, cocinar, ocuparse de su economía doméstica, valorar cuestiones políticas, etc., en las que el empleo de un razonamiento cuantitativo o espacial, u otras capacidades matemáticas, contribuirá a aclarar, formular o resolver los problemas que se les planteen. Estos usos de las matemáticas se basan en las habilidades que se han aprendido y practicado mediante el tipo de problemas que suelen presentarse en los libros de texto y en las aulas. Sin embargo, exigen asimismo la capacidad de aplicar esas habilidades a unos contextos menos estructurados, que carecen de instrucciones precisas y en los que el alumno debe decidir cuál será el conocimiento más adecuado al caso y cuál será la forma más útil de aplicarlo. El concepto de competencia matemática de PISA pretende evaluar en qué medida los alumnos de 15 años pueden ser considerados unos ciudadanos reflexivos e informados y unos consumidores inteligentes. Cada vez es más normal que los ciudadanos de cualquier país se vean enfrentados a una multiplicidad de tareas que entrañan conceptos matemáticos de carácter cuantitativo, espacial, probabilístico o de algún otro tipo. Los medios de comunicación (periódicos, revistas, televisión e Internet) están repletos de información en forma de tablas, diagramas o gráficos, donde se tratan temas como el clima, la economía, la medicina o los deportes, por mencionar tan solo unos pocos ejemplos. Los ciudadanos se ven sometidos a un bombardeo informativo sobre temas como «el calentamiento global y el efecto invernadero», «el crecimiento demográfico», «los vertidos de petróleo en los mares», «la desaparición de espacios naturales». Por último, sin ser por ello menos importante, los ciudadanos se ven en la necesidad de leer formularios, interpretar horarios de trenes y autobuses, llevar a cabo transacciones monetarias de forma satisfactoria, decidir cuál es la mejor compra en el mercado, etc. de PISA se centra en la capacidad de los alumnos de 15 años (una edad en la que muchos de ellos están a punto de completar el ciclo de formación obligatoria en matemáticas) para dotar de sentido estas cuestiones y llevar a cabo las tareas que requieren, recurriendo a sus conocimientos y su comprensión de las matemáticas. PISA define así : Competencia matemática es una capacidad del individuo para identificar y entender la función que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios fundados y utilizar y relacionarse con las matemáticas de forma que se puedan satisfacer las necesidades de la vida de los individuos como ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos. Una serie de comentarios explicativos adicionales contribuirán a clarificar la definición del área de evaluación.
• El término «competencia matemática» se ha elegido con el fin de hacer hincapié en el carácter funcional del conocimiento matemático y en la posibilidad de aplicarlo de forma variada, reflexiva y perspicaz a una multiplicidad de situaciones de los más diversos tipos. Para que dicho uso sea posible y viable se requiere un considerable volumen de conocimientos y habilidades matemáticas fundamentales y, como es natural, dichas habilidades forman parte de nuestra definición de competencia. En el ámbito lingüístico, la competencia presupone, sin reducirse a ello, la posesión de un vocabulario rico y un conocimiento sustancial de las reglas gramaticales, la fonética, la ortografía, etc. Cuando una persona quiere comunicarse recurre a estos elementos de forma creativa con objeto de dar respuesta a las situaciones que se encuentran en el mundo real. Aunque presupone sin duda ese tipo de conocimientos, tampoco puede reducirse al dominio de la terminología, los datos y los procesos de las matemáticas ni a la habilidad para realizar ciertas operaciones y poner en práctica determinados métodos. supone una combinación creativa de estos elementos con objeto de responder a las exigencias que plantean las situaciones externas. • El término «mundo» hace referencia al marco natural, social y cultural en que vive el individuo. Como señaló Freudenthal (1983): «Los conceptos, las estructuras y las nociones matemáticas de que nos servimos se han concebido como herramientas que nos permitan organizar los fenómenos del mundo físico, social y mental» (p. ix). • La expresión «utilizar y relacionarse con» comprende tanto el uso de las matemáticas como la solución de problemas matemáticos, pero comporta asimismo un grado de implicación personal más amplio que englobaría nociones como la comunicación, la sintonía, la valoración e incluso la apreciación y el disfrute de las matemáticas. Así pues, la definición de competencia matemática engloba, por un lado, el uso funcional de las matemáticas en su sentido más restringido y, por otro, la disposición para profundizar en su estudio, así como sus aspectos estéticos y recreativos. • La expresión «la vida de los individuos» incluye la vida privada de las personas, pero también su vida profesional, social (grupos de compañeros y familiares) y su vida como ciudadanos de una determinada comunidad. Una de las capacidades esenciales que comporta el concepto de competencia matemática es la habilidad de plantear, formular e interpretar problemas mediante las matemáticas en una variedad de situaciones o contextos. La gama de contextos abarca desde los puramente matemáticos hasta aquellos otros que, en principio, no presentan o aparentan poseer una estructura matemática: es tarea de quien plantea o trata de solucionar el problema introducir de forma satisfactoria la estructura matemática. Conviene poner de relieve, asimismo, que la definición no se circunscribe a un conocimiento básico de las matemáticas, sino que incluye el empleo y el uso de las matemáticas en unas situaciones que van desde lo cotidiano a lo excepcional, desde lo sencillo a lo complejo. Las actitudes y los sentimientos que suscitan las matemáticas, como la seguridad en uno mismo, la curiosidad, los sentimientos de interés y relevancia o el deseo de hacer o comprender ciertas cosas, no forman parte de la definición de competencia matemática, aunque ciertamente contribuyen a ella de una forma nada desdeñable. En teoría se puede ser competente en matemáticas sin poseer esas actitudes y sentimientos, pero en la práctica es poco probable que dicha competencia se ejerza o se ponga en práctica si el individuo no posee un cierto grado de seguridad en sí mismo, curiosidad, sentimientos de interés y relevancia o el deseo de realizar y comprender temas de contenido matemático. Aunque estas actitudes y sentimientos no formen parte de la evaluación de , PISA reconoce la importancia que tienen como correlato de y, en consecuencia, se abordarán en una parte del estudio
PISA. BASE TEÓRICA DEL MARCO PISA DE EVALUACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
La definición que hace PISA de concuerda con las teorías más amplias e integradoras sobre la estructura y el uso del lenguaje, según han sido recogidas en los más recientes estudios sobre la competencia sociocultural. En la obra de James Gee, Preamble to a Literacy Program (1998) {Preámbulo a un programa centrado en la competencia}, el término «competencia» hace referencia al uso que hacen las personas del lenguaje. La facultad de leer, escribir, entender y hablar una lengua es la herramienta de mediación más importante de la que disponen los seres humanos para interrelacionarse socialmente. De hecho, cualquier lengua y cualquier uso del lenguaje posee una estructura enormemente intrincada que se engarza de formas muy complejas con una gran diversidad de funciones. Afirmar que alguien está dotado de competencia lingüística equivale a decir que esa persona conoce muchos de los recursos estructurales de una determinada lengua y que es capaz de aplicar esos recursos a una gran variedad de funciones sociales. De forma análoga, considerar las matemáticas como un lenguaje implica que los alumnos deben conocer los rasgos estructurales presentes en el discurso matemático (los términos, hechos, signos, símbolos, procedimientos y habilidades que se han de emplear para ejecutar ciertas operaciones en unos subdominios matemáticos específicos, así como la estructura de esas ideas en cada uno de los subdominios), y aprender a utilizar esos conceptos para resolver problemas no rutinarios en una variedad de contextos definidos según sus funciones sociales. Nótese que el conocimiento de los rasgos estructurales de las matemáticas implica conocer los términos, procedimientos y conceptos básicos que suelen enseñarse en los centros escolares, pero también saber cómo se estructuran y se utilizan. Desafortunadamente, se puede saber mucho sobre los rasgos estructurales de las matemáticas sin que ello suponga que se posee un verdadero conocimiento de la estructura de las matemáticas o que se saben utilizar esos rasgos para resolver problemas. Estos conceptos sobre la interacción entre los rasgos estructurales y las funciones constituyen la base sobre la que se asienta el marco de evaluación del área de matemáticas de PISA y pueden ilustrarse a través del siguiente ejemplo. Ejemplo 1 de Matemáticas: FRECUENCIA CARDÍACA
Por motivos de salud se recomienda que, al realizar un esfuerzo, la práctica de un deporte, por ejemplo, no se exceda de una determinada frecuencia cardíaca. Durante muchos años, la relación entre la máxima frecuencia cardíaca recomendada y la edad del individuo se describió mediante la siguiente fórmula: Máxima frecuencia cardíaca recomendada = 220 – edad Las últimas investigaciones, sin embargo, indican que esta fórmula debe ser modificada ligeramente. La nueva fórmula es la siguiente: Máxima frecuencia cardíaca recomendada = 208 – (0,7 x edad)
Las preguntas de esta unidad giran en torno a la diferencia entre las dos fórmulas y el modo en que estas afectan al cálculo de la máxima frecuencia cardíaca recomendada. Este problema puede solucionarse siguiendo la estrategia que suelen emplear los matemáticos, que en este marco se denominará matematización. La matematización se puede caracterizar atendiendo a cinco aspectos esenciales:
• En el primer paso, el proceso matematizador o de matematización se inicia con un problema presente en la realidad. Como deja claro el ejemplo, en este caso la realidad es la salud y la buena forma física. Una de las reglas básicas a la hora de hacer ejercicio es que se debe realizar con cuidado y sin forzarse, pues un esfuerzo excesivo puede causar problemas de salud. La pregunta nos alerta sobre este tema estableciendo un nexo entre la salud y la frecuencia cardíaca y mediante la mención a la existencia de una «máxima frecuencia cardíaca recomendada». al caso y reorganiza el problema según los conceptos matemáticos que han sido identificados. Está claro que el alumno tiene ante sí dos fórmulas lingüísticas que deben ser comprendidas y que se pide que compare las dos fórmulas y trate de establecer cuál es su significado en términos matemáticos. Las fórmulas establecen una relación entre la máxima frecuencia cardíaca aconsejable y la edad de una persona.
• El tercer paso implica una progresiva abstracción de la realidad.
Existen diferentes modos de abstraer la realidad, esto es, de formular el problema en términos estrictamente matemáticos. Uno de ellos consiste en traducir las fórmulas lingüísticas a una expresión algebraica más formalizada, como: y = 220 – x o y = 208 – 0,7x. Evidentemente, el alumno no debe olvidar que y representa la máxima frecuencia cardíaca, expresada en latidos por minuto, y que x representa la edad, expresada en años. Otra forma de acceder a un universo estrictamente matemático consistiría en dibujar directamente los gráficos partiendo de las fórmulas lingüísticas. Al tratarse de fórmulas de primer grado, los gráficos resultantes representarían dos líneas rectas. Como los gráficos tienen pendientes distintas, las dos líneas se intersecarían. Estos tres pasos nos llevan desde el problema del mundo real al problema matemático.
• El cuarto paso consiste en resolver el problema matemático.
Para resolver el problema matemático que se tiene entre manos se han de comparar dos fórmulas o dos gráficos y sacar una conclusión sobre las diferencias que suponen para las personas de una determinada edad. Una buena manera de empezar sería determinar en qué caso las dos fórmulas dan el mismo resultado, o bien en qué caso los dos gráficos se intersecan. Para ello el alumno ha de resolver la siguiente ecuación: 220 – x = 208 – 0,7x. Esto nos da x = 40, mientras que el valor correspondiente de y sería 180. Por tanto, los dos gráficos se intersecan en el punto (40, 180). Ese mismo punto se puede localizar también en el gráfico que figura más abajo. Como la pendiente de la primera fórmula es – 1, y la de la segunda, – 0,7, el alumno sabe que la pendiente del
• En el segundo paso, la persona que desea resolver el problema trata de identificar las matemáticas pertinentes segundo gráfico es menos pronunciada que la del primero. O que el gráfico de y = 220 – x se sitúa por encima del gráfico de y = 208 – 0,7x para los valores de x inferiores a 40, y por debajo para los valores de x superiores a 40.
• El quinto paso supone responder a la pregunta: qué significado adquiere la solución estrictamente matemática al transponerla al mundo real. El significado no resulta demasiado difícil de hallar si el alumno se da cuenta de que x es la edad de una persona, mientras que y es la máxima frecuencia cardíaca. Si se tienen 40 años, ambas fórmulas dan el mismo resultado: una frecuencia cardíaca máxima de valor 180. La fórmula «antigua» permite una frecuencia cardíaca más alta para los jóvenes: utilizando un ejemplo extremo, si la edad es cero, la fórmula antigua dará un máximo de 220 y la nueva un máximo de 208. En cambio, para la gente mayor, que en este caso son los que tienen más de 40 años, la nueva fórmula permite una frecuencia cardíaca máxima de un valor más alto. Recurriendo una vez más a un ejemplo extremo, para una edad de 100 años el alumno verá que con la fórmula antigua el máximo era 120, mientras que con la nueva es 138. Es importante, sin embargo, tener en cuenta una cuestión: las fórmulas empleadas carecen de precisión matemática y producen la impresión de tener un carácter seudocientífico. De hecho, estas fórmulas simplemente proporcionan una regla de andar por casa que ha de aplicarse con precaución, una cautela que ha de extremarse aún más en las edades límite. En todo caso, lo que este ejemplo demuestra es que incluso un ejercicio relativamente sencillo, es decir, un ejercicio sometido a las restricciones que impone un estudio internacional a gran escala que ha de realizarse en poco tiempo, permite identificar el ciclo completo de la matematización y la solución de problemas. Estos procesos caracterizan, en un sentido amplio, la forma en que los matemáticos suelen hacer matemáticas, el modo en que la gente emplea las matemáticas en gran cantidad de situaciones reales o hipotéticas y la forma en que un ciudadano reflexivo y bien informado debe utilizar las matemáticas para participar de forma plena y competente en el mundo real. De hecho, aprender a matematizar debería constituir uno de los objetivos educativos prioritarios para todos los alumnos. En la actualidad, y es de prever que seguirá siendo así en el futuro, todo país necesita contar con unos ciudadanos dotados de un nivel de competencia matemática que les permita afrontar los retos que plantea una sociedad compleja y en perpetuo cambio. La información disponible ha crecido de forma exponencial y los ciudadanos tienen que ser capaces de decidir cómo se debe manejar esa información. En los debates sociales, cada vez se recurre más al uso de información cuantitativa para respaldar determinadas afirmaciones. Un ejemplo de lo necesaria que es lo tenemos en la frecuencia con que se pide a las personas que expresen sus opiniones y evalúen la fiabilidad de las conclusiones y las afirmaciones que aparecen en encuestas y estudios. Ser capaz de emitir un juicio sobre la solidez de las afirmaciones que se derivan de tales argumentaciones es, y cada vez lo será más, uno de los rasgos definitorios del ciudadano responsable. Los pasos del proceso de matematización que se exponen en este marco de la evaluación constituyen los elementos fundamentales a la hora de aplicar las matemáticas a este tipo de situaciones complejas. La incapacidad de utilizar conceptos matemáticos puede llevar a la adopción de decisiones confusas a nivel personal, a un incremento de la vulnerabilidad ante las seudociencias y a la toma de decisiones poco informadas en la vida profesional y social. Un ciudadano con un buen nivel de competencia matemática es consciente de la rapidez con que se producen los cambios y de la necesidad de estar abierto a un proceso de aprendizaje que se prolongará a lo largo de toda la vida. Ser capaz de adaptarse a estos cambios de una manera creativa, flexible y práctica es una condición necesaria para ejercer la ciudadanía de una forma plena. Por desgracia, es poco probable que las habilidades aprendidas en la escuela basten para cubrir las necesidades de los ciudadanos durante la mayor parte de su vida adulta. Los requisitos para ejercer la ciudadanía de forma competente y reflexiva afectan igualmente a la mano de obra. Cada vez es más raro esperar que un trabajador se pase toda su vida laboral realizando un trabajo físico y repetitivo. Lo que se espera, más bien, es que participe activamente en el control de la producción de una gran diversidad de máquinas de tecnología punta, que sea capaz de manejar un enorme flujo de información y que participe en grupos encargados de la solución de problemas. La tendencia dominante apunta a que cada vez serán más los trabajos que requieran la capacidad de comprender, comunicar, utilizar y explicar conceptos y procedimientos basados en el pensamiento matemático. Los pasos del proceso de matematización son los componentes básicos de este tipo de pensamiento matemático. Por último, un ciudadano competente en matemáticas acabará por desarrollar asimismo un gusto por las matemáticas, en las que verá una disciplina dinámica, cambiante y relevante que con frecuencia le resultará útil para satisfacer sus necesidades. Desde un punto de vista práctico, el problema que se le plantea a PISA es determinar la forma de evaluar de los estudiantes de 15 años en función de su capacidad para llevar a cabo procesos de matematización. Por desgracia, las restricciones de tiempo que comporta la evaluación dificultan esta tarea, pues es innegable que, para las situaciones reales más complejas, el proceso que conduce de la realidad a las matemáticas y viceversa conlleva a menudo un trabajo cooperativo y de búsqueda de recursos que requiere un tiempo bastante considerable. Con objeto de ilustrar cómo funciona el proceso de matematización en un ejercicio de solución de problemas extenso, se incluye a continuación el ejemplo VACACIONES, que fue uno de los ejercicios del Estudio sobre Solución de Problemas PISA 2003. El problema plantea dos preguntas, y su objetivo es trazar una ruta y elegir una serie de lugares para pasar la noche durante un viaje de vacaciones. Para ello, los alumnos contaban con un mapa simplificado y con un gráfico (de representaciones múltiples) en el que se mostraban las distancias entre las ciudades recogidas en el mapa.
PISA.
ORGANIZACIÓN DEL ÁREA DE EVALUACIÓN
El marco de evaluación para las matemáticas de PISA proporciona los fundamentos y la descripción de una evaluación cuyo objetivo es determinar en qué medida los alumnos de 15 años están preparados para hacer un uso bien fundado de las matemáticas a la hora de hacer frente a los problemas que plantea el mundo real, o, dicho en términos más generales, una evaluación del nivel de competencia matemática de los alumnos de 15 años. Para describir con mayor claridad el área objeto de la evaluación, convendrá distinguir tres elementos:
• Las situaciones o contextos en que se sitúan los problemas. • El contenido matemático del que hay que valerse para resolver los problemas, que se organiza de acuerdo con ciertas ideas clave.
• Las capacidades que deben activarse para establecer un nexo entre el mundo real donde se generan los problemas y las matemáticas, para de esa forma poder resolver los problemas. Estos elementos aparecen representados visualmente en la Figura 3.1. A esta representación gráfica sigue una explicación de cada uno de los elementos.
El nivel de competencia matemática de una persona se aprecia en la manera en que emplea sus conocimientos y habilidades matemáticas para resolver problemas. Dentro de la experiencia personal de cada individuo, los problemas (y su solución) pueden presentarse en una gran variedad de situaciones o contextos. Los problemas elaborados por PISA se extraen del mundo real de dos maneras distintas. En primer lugar, los problemas se dan en situaciones genéricas que son relevantes para la vida del alumno. Estas situaciones forman parte del mundo real y se indican mediante el recuadro grande que figura en la parte superior izquierda del gráfico. En segundo lugar, dentro de cada situación, los problemas poseen un contexto más específico. Dicho contexto se representa mediante el rectángulo gris inserto en el recuadro de la situación. En los anteriores ejemplos, FRECUENCIA CARDÍACA y VACACIONES, la situación sería el mundo real personal, mientras que los contextos serían, por un lado, diversos aspectos relacionados con el deporte y la salud del ciudadano activo y, por otro, la manera de organizar unas vacaciones. El siguiente elemento del mundo real que ha de tomarse en consideración con referencia a es el contenido matemático al que ha de recurrir una persona a la hora de resolver un problema. El contenido matemático puede ilustrarse mediante cuatro categorías que engloban los distintos tipos de problemas que surgen de la interacción con los fenómenos de la vida cotidiana y que se basan en una determinada concepción sobre la manera en que los contenidos matemáticos se presentan a las personas. A efectos de la evaluación PISA, estas categorías, que reciben el nombre de ideas clave, son las siguientes: espacio y forma, cambio y relaciones, cantidad e incertidumbre. Se trata de un enfoque del contenido matemático que puede no resultar demasiado familiar si se contempla desde la perspectiva de la enseñanza de las matemáticas y de las tendencias curriculares que suelen seguir los centros educativos. Sin embargo, en su conjunto, las ideas clave engloban en toda su amplitud los temas matemáticos que se espera que aprendan los estudiantes. En la Figura 3.1 las ideas clave aparecen representadas en la parte superior derecha del diagrama. A partir de ellas, se extraen los contenidos que se utilizan para resolver un problema. Por su parte, el contenido está representado en el recuadro más pequeño que se encuentra inserto en el recuadro de las ideas clave. Las flechas que enlazan los recuadros del contexto y el contenido con el del problema muestran el modo en que el mundo real (incluidas las matemáticas) conforma un problema. El problema de la FRECUENCIA CARDÍACA conlleva una serie de relaciones matemáticas, así como la comparación de dos relaciones, con objeto de adoptar determinadas decisiones. El problema, por tanto, se encuadra dentro de la idea clave cambio y relaciones. El problema de las VACACIONES, por su parte, requiere la realización de una serie de cálculos sencillos, si bien para resolver su segunda pregunta habrá que recurrir a un razonamiento analítico. En razón de ello, la idea clave más apropiada será la de cantidad. Para referirse a los procesos matemáticos que aplican los alumnos al tratar de resolver problemas se emplea el término capacidades matemáticas. Tres grupos de capacidades condensan los distintos procesos cognitivos necesarios para resolver los diversos tipos de problema. Estos grupos, que reflejan la forma en que suelen emplearse los procesos matemáticos al tratar de resolver los problemas a los que tienen que hacer frente los alumnos en su interrelación con el mundo, serán descritos con más detalle en ulteriores apartados. El ámbito de los procesos de este marco aparece representado primero en el cuadrado grande, donde figuran las capacidades matemáticas generales, y luego en el cuadrado más pequeño, que representa los tres grupos de capacidades. Las capacidades específicas que requiere la solución de un problema dependerán de la naturaleza del problema y se verán reflejadas en la solución que se dé al mismo. Esta interacción se representa mediante una flecha que va desde los grupos de capacidad al problema y su solución. La flecha restante va desde los grupos de capacidad al formato del problema, indicando que las capacidades empleadas en resolver el problema están relacionadas con la forma que adopta el problema y con las exigencias concretas que plantea. Es importante recalcar que los tres elementos que se acaban de describir difieren en su naturaleza. Las capacidades, de hecho, constituyen el núcleo mismo del concepto de competencia matemática. Solo los estudiantes que dispongan de ciertas capacidades se encontrarán en condiciones de resolver con éxito los problemas que se les planteen. Evaluar supone, por tanto, determinar hasta qué punto poseen los alumnos una serie de capacidades matemáticas concretas que puedan aplicar de forma productiva a aquellas situaciones que llevan implícito un problema. En los apartados siguientes se describen con más detalle estos tres elementos.
SITUACIONES Y CONTEXTO
Un aspecto importante de lo constituye el compromiso con las matemáticas, esto es, la disposición a ejercitar y utilizar las matemáticas en una gran variedad de situaciones. Es un hecho probado que, a la hora de enfrentarse a un problema susceptible de ser abordado matemáticamente, la elección de los métodos y los sistemas de representación matemáticos depende con bastante frecuencia de las situaciones en que se presenta el problema. La situación es la parte del mundo del estudiante en la que se localizan las tareas que se le plantean. Para PISA, la situación más cercana al alumno es su propia vida personal. Vendrían luego la vida escolar, laboral y el ámbito del ocio, y a continuación la comunidad local y la sociedad, tal como se presentan en la vida cotidiana del estudiante. Las situaciones científicas, por el contrario, se encontrarían bastante más alejadas. En los problemas que se planteen se definirán y utilizarán cuatro tipos de situación: personal, educacional/profesional, pública y científica. El contexto de un ejercicio es el marco específico que se halla presente en una determinada situación. A él pertenecen todos los elementos pormenorizados que se utilizan para formular el problema. Considérese el siguiente ejemplo: Ejemplo 3 de Matemáticas: CUENTA DE AHORRO
Se ha realizado un ingreso de 1.000 zeds en una cuenta de ahorro de un banco. La cuenta ofrece dos opciones: obtener un interés anual del 4 % u obtener de forma inmediata una prima de 10 zeds y un interés anual del 3 %.
Pregunta 1: CUENTA DE AHORRO ¿Cuál será la mejor opción al cabo de un año? ¿Y al cabo de dos años?
La situación del ejercicio es banca y finanzas, una situación propia de la comunidad local y de la sociedad, que PISA clasificaría como pública. El contexto del ejercicio hace referencia al dinero (zeds) y a los tipos de interés de una cuenta bancaria.
Adviértase que se trata de un tipo de problema que podría formar parte de la experiencia o de la práctica del examinando en un marco de la vida real. Proporciona, pues, un contexto de utilización de las matemáticas auténtico, en la medida en que la aplicación de las matemáticas a este contexto estaría encaminada a la solución real de un problema. Un ejercicio de este tipo contrasta con los problemas que suelen figurar en los textos escolares de matemáticas, en los que se prima el empleo de las matemáticas que se están practicando en lugar de la utilización de las matemáticas para resolver un problema real. Esta autenticidad en el empleo de las matemáticas desempeña un papel importante a la hora de elaborar y analizar los ejercicios de PISA y se halla estrechamente vinculada con la definición del concepto de competencia matemática. Conviene señalar, no obstante, que la utilización del término «autentico» no implica que los ejercicios matemáticos sean verdaderos o reales en sentido estricto. El uso que hace PISA del término «auténtico» dentro del área de las matemáticas indica tan solo que las matemáticas se emplean para resolver verdaderamente el problema planteado, en lugar de considerarlo como un mero pretexto para poner en práctica determinados conocimientos matemáticos. Obsérvese, asimismo, que el ejercicio contiene algunos elementos inventados: por ejemplo, la moneda que se menciona es ficticia. La presencia de elementos ficticios responde al deseo de evitar que los alumnos de algunos países puedan disponer de algún tipo de ventaja. La situación y el contexto de un problema también pueden contemplarse en función de la proximidad o la lejanía que existe entre el problema y las matemáticas necesarias para su solución Si un ejercicio hace únicamente referencia a objetos, símbolos o estructuras matemáticas y no alude a cuestiones ajenas al universo matemático, se considerará que el contexto de dicho ejercicio es intramatemático y, por tanto, se clasificará dentro del tipo de situación científica. En el estudio PISA solo se incluirá un pequeño porcentaje de este tipo de ejercicios, en los que el estrecho vínculo que existe entre el problema y las matemáticas subyacentes se explicita en el contexto del problema. Por regla general, los problemas que los estudiantes encuentran en sus vidas cotidianas no suelen estar formulados en términos explícitamente matemáticos. Sus referencias son más bien los objetos del mundo real. En estos contextos de evaluación de carácter extramatemático, la tarea del alumno consiste precisamente en traducir los contextos de estos problemas a una formulación matemática. En términos generales, PISA presta especial atención a las tareas que pueden encontrarse en una situación del mundo real y que proporcionan un contexto auténtico para el uso de las matemáticas que influya en su solución y en su interpretación. Esto no significa, sin embargo, la exclusión de ejercicios cuyo contexto sea hipotético, siempre y cuando dicho contexto contenga elementos reales, no se aleje en exceso de una situación del mundo real y plantee un problema susceptible de ser solucionado de forma auténtica mediante el recurso a las matemáticas. El Ejemplo 4 es una muestra de un problema con un contexto hipotético de tipo extramatemático. Ejemplo 4 de Matemáticas: SISTEMA MONETARIO
Pregunta 1: SISTEMA MONETARIO ¿Sería posible establecer un sistema monetario basado exclusivamente en los valores 3 y 5? Concretamente, ¿qué cantidades podrían obtenerse partiendo de esa base? ¿Resultaría conveniente un sistema de esas características?
El valor de este problema no se deriva de su proximidad con el mundo real, sino del hecho de que sea interesante desde el punto de vista matemático y ponga en juego algunas de las capacidades que integran el concepto de competencia matemática. El empleo de las matemáticas para explicar escenarios hipotéticos y explorar sistemas o situaciones potenciales, aun cuando difícilmente vayan a ponerse en práctica en la realidad, constituye uno de los rasgos más poderosos de la disciplina. Un problema como este quedaría clasificado dentro del tipo de situación científica. En resumen, PISA concede más valor a aquellas tareas que pueden encontrarse en diferentes situaciones del mundo real y que poseen un contexto en el que el recurso a las matemáticas para resolver el problema planteado sería auténtico. La preferencia por los problemas con un contexto extramatemático que influye en su solución e interpretación como instrumento de la evaluación de viene motivada por el hecho de que son precisamente este tipo de problemas lo que se encuentran con más frecuencia en la vida cotidiana.
EL CONTENIDO MATEMÁTICO: LAS CUATRO IDEAS CLAVE
Hoy día son muchos los que ven las matemáticas como una ciencia de las regularidades en un sentido general. Las ideas clave elegidas por este marco de evaluación reflejan ese punto de vista: las regularidades en los ámbitos del espacio y la forma, el cambio y las relaciones y la cantidad serían conceptos esenciales de cualquier descripción de las matemáticas y formarían parte del núcleo de cualquier currículo en todos los niveles educativos. Pero ser competente en matemáticas significa algo más. Es esencial asimismo abordar el campo de la incertidumbre desde una perspectiva matemática y científica. De ese modo, los elementos integrantes de la teoría de la probabilidad y la estadística dan lugar a la cuarta idea clave: la incertidumbre. La lista de ideas clave que figura a continuación es utilizada por el estudio PISA 2006 con objeto de cumplir los requisitos de reflejar el desarrollo histórico, cubrir el área de contenido y recoger las líneas maestras de los currículos escolares.
• Espacio y forma • Cambio y relaciones • Cantidad • Incertidumbre
Por medio de estas cuatro ideas, el contenido matemático queda organizado en un número de áreas lo bastante amplio como para garantizar que los ejercicios de la prueba cubren el currículo en su conjunto, pero a su vez lo bastante reducido para evitar que una división excesivamente meticulosa pudiera obrar en contra del propósito de centrar el estudio en problemas basados en situaciones reales. Básicamente, la noción de idea clave hace referencia a un conjunto de fenómenos y conceptos dotados de sentido y susceptibles de hallarse presentes en una multiplicidad de situaciones diversas. Por su propia naturaleza, cada una de estas ideas clave puede percibirse como una suerte de noción que se ocupa de una dimensión de contenido generalizada. Esto implica que no es posible deslindar unas ideas clave de otras de forma precisa, del mismo modo que tampoco pueden deslindarse las áreas de contenido de las matemáticas tradicionales. Habría que considerar, más bien, que cada una de ellas ofrece una determinada perspectiva o punto de vista, del que se puede decir que posee un núcleo –una especie de centro de gravedad– y unos límites un tanto imprecisos que permiten que se produzcan intersecciones con otras ideas clave. En principio, cualquier idea clave puede solaparse con otra idea clave. En los apartados que siguen se ofrece una descripción de las cuatro ideas clave.
En todas partes se pueden encontrar regularidades: en el habla, la música, el vídeo, el tráfico, las estructuras de los edificios, el arte, etc. También las formas pueden verse como ejemplos de regularidades: las casas, los edificios de oficinas, los puentes, las estrellas de mar, los copos de nieve, los planos de las ciudades, las hojas de trébol, los cristales, las sombras. Las regularidades geométricas pueden servir como modelos relativamente sencillos de muchos tipos de fenómenos, y su estudio no solo es posible, sino también deseable en todos los niveles educativos (Grünbaum, 1985). También es importante comprender las propiedades de los objetos y sus posiciones relativas. Los estudiantes deben ser conscientes de cómo vemos las cosas y por qué las vemos de una determinada manera, a la vez que aprenden a navegar por el espacio y a través de las estructuras y las formas. Para ello se ha de comprender la relación que existe entre las formas y las imágenes o representaciones visuales, por ejemplo, la relación que existe entre una ciudad real y las fotografías o los mapas de esa misma ciudad. Supone asimismo comprender cómo se pueden representar en dos dimensiones los objetos tridimensionales, la manera en que se forman y deben interpretar las sombras y qué es la perspectiva y cómo funciona. La forma es un ámbito matemático que posee un vínculo muy estrecho con la geometría tradicional, pero va mucho más allá que esta en contenido, significado y métodos. Interaccionar con las formas reales implica comprender el mundo visual que nos rodea, ser capaz de describirlo y saber codificar y descodificar información visual. Asimismo, comporta la interpretación de esa información visual. Para captar el concepto de forma, los alumnos tienen que descubrir el modo en que los objetos se asemejan o se diferencian entre sí, analizar los distintos componentes de un objeto y reconocer formas que se presenten en distintas dimensiones y representaciones. Es importante no restringir el concepto de forma al de unas entidades estáticas. La forma, como entidad, puede transformarse, del mismo modo que las formas se modifican. En ocasiones, este tipo de cambios pueden visualizarse con gran elegancia mediante tecnologías informáticas. Los alumnos deberán ser capaces de identificar pautas y regularidades en el cambio de las formas. Un ejemplo de ello puede verse en la Figura 3.2 del apartado siguiente. El estudio de la forma y las estructuras requiere la búsqueda de similitudes y diferencias cuando se analizan los componentes de las formas, así como la capacidad de reconocerlas en diferentes representaciones y dimensiones. El estudio de las formas se encuentra estrechamente ligado al concepto de la «comprensión del espacio». (Freudenthal, 1973). Los ejemplos que requieren este tipo de pensamiento son muy abundantes. Identificar y relacionar una fotografía de una ciudad con un plano de esa misma ciudad e indicar desde qué punto fue tomada la fotografía; la capacidad de trazar un plano; comprender por qué un edificio cercano se ve más grande que un edificio que se encuentra más alejado; comprender por qué las vías del ferrocarril parecen juntarse en el horizonte: todas estas son cuestiones importantes para los estudiantes dentro del ámbito de esta idea clave. Dado que los alumnos viven en un entorno tridimensional, deberían estar familiarizados con la visión de los objetos desde tres perspectivas ortogonales (por ejemplo, de frente, de lado y desde arriba). Del mismo modo, deberían ser conscientes del alcance y las limitaciones de los distintos tipos de representación de las formas tridimensionales, tal y como se muestra más adelante en el ejemplo de la Figura 3.3. No solo tienen que comprender la posición relativa de los objetos, sino que deben ser capaces de moverse a través del espacio y a través de las construcciones y las formas. Un ejemplo de ello consistiría en leer e interpretar un mapa y elaborar las instrucciones para desplazarse desde un punto A a un punto B mediante unas coordenadas, el lenguaje común o un dibujo. La comprensión conceptual de las formas incluye asimismo la capacidad de tomar un objeto tridimensional y plasmarlo en un plano bidimensional, y viceversa, aun cuando dicho objeto tridimensional se presente en dos dimensiones. La Figura 3.4 sería un ejemplo de ello. A modo de resumen, la siguiente lista recoge los principales aspectos de la idea clave espacio y forma:
• Reconocer formas y patrones. • Describir, codificar y descodificar información visual. • Comprender los cambios dinámicos de las formas. • Similitudes y diferencias. • Posiciones relativas. • Representaciones bidimensionales y tridimensionales y relaciones entre ambas. • Orientación en el espacio.
Puede resultar una sorpresa para muchos –tanto alumnos como profesores– que el número máximo de cubos sea 20 y el mínimo 6 (de Lange, 1995). El siguiente ejemplo muestra una representación bidimensional de un granero y un esquema incompleto del mismo. El problema consiste en completar el esquema del granero.
Figura 3.4 • Representación bidimensional de un granero tridimensional y de su esquema (incompleto)
Un último ejemplo, similar al anterior, se muestra en la Figura 3.5 (adaptado de Hershkovitz et al., 1996).
Figura 3.5 • Cubo con base negra
En la imagen del cubo, su mitad inferior aparece pintada de negro.Y, para cada uno de los esquemas, se ha pintado de negro la cara que forma la base del cubo. A los alumnos se les podría pedir que completaran cada esquema sombreando los cuadrados pertinentes.
Cambio y relaciones
Todo fenómeno natural es una manifestación del cambio, y el mundo que nos rodea presenta una multiplicidad de relaciones temporales o permanentes entre sus diversos fenómenos. Ejemplos de ello son los cambios que experimentan los organismos al crecer, el ciclo de las estaciones, el flujo y reflujo de las mareas, los ciclos del desempleo, los cambios de tiempo y los índices de la bolsa. Algunos de estos procesos de cambio llevan implícita una serie de funciones matemáticas sencillas que pueden utilizarse para describirlos o modelarlos: funciones lineares, exponenciales, periódicas o logísticas, tanto discretas como continuas. No obstante, son muchas las relaciones que pertenecen a otras categorías, y a menudo resulta esencial llevar a cabo un análisis de los datos para determinar el tipo de relación presente. Con bastante frecuencia, las relaciones matemáticas adoptan la forma de ecuaciones o desigualdades, lo cual no quita para que también puedan darse otras relaciones de carácter más general (como la equivalencia, la divisibilidad o la integración, por mencionar algunas). Según Stewart (1990), la sensibilización a los patrones del cambio requiere:
• Representar cambios de una forma comprensible. • Comprender los tipos de cambio fundamentales. • Reconocer tipos concretos de cambio cuando estos se produzcan. • Aplicar estas técnicas al mundo exterior. • Controlar un universo cambiante para que redunde en nuestro beneficio.
El cambio y las relaciones se pueden representar visualmente de muy diversas maneras: numéricamente (por ejemplo, en una tabla), simbólicamente o gráficamente. Pasar de un tipo de representación a otra tiene una importancia capital, como también la tiene reconocer y comprender las relaciones y los tipos de cambio fundamentales. Los alumnos deben estar al tanto de conceptos como crecimiento lineal (proceso aditivo), crecimiento exponencial (proceso multiplicativo), crecimiento periódico, e incluso crecimiento logístico, aunque solo sea de manera informal, entendido como un caso particular del crecimiento exponencial. Los alumnos también deben ser capaces de reconocer las relaciones entre estos modelos: las diferencias fundamentales entre procesos lineales y exponenciales, el hecho de que el crecimiento porcentual sea idéntico al crecimiento exponencial y cómo, y por qué razones, se produce el crecimiento logístico tanto en situaciones continuas como discontinuas. Los cambios se producen dentro de un sistema de objetos o fenómenos interrelacionados en el que los elementos influyen unos en otros. En los ejemplos que se recogen en el sumario, todos los fenómenos experimentan cambios en el tiempo. Sin embargo, en la vida real, los objetos pueden interrelacionarse de muy diversas maneras. Por ejemplo:
Si se divide en dos la longitud de la cuerda de una guitarra, se obtendrá una tonalidad nueva que será una octava más alta que la tonalidad anterior. Por tanto, la tonalidad depende de la longitud de la cuerda. Cuando ingresamos dinero en una cuenta corriente sabemos que el saldo dependerá tanto de la magnitud, la frecuencia y el número de ingresos y retiradas de dinero, como del tipo de interés.
El concepto de relación conduce al de dependencia. La dependencia hace referencia al hecho de que las propiedades y los cambios de determinados objetos matemáticos pueden tener una relación de dependencia o ejercer una influencia sobre las propiedades y los cambios de otros objetos matemáticos. A menudo, las relaciones matemáticas adoptan la forma de una ecuación o una desigualdad, aunque tampoco es raro que se den otras relaciones de carácter más general. El cambio y las relaciones comportan el recurso al pensamiento funcional. El pensamiento funcional –es decir, la capacidad de pensar sobre y en términos de relaciones– constituye uno de los principales objetivos disciplinares de la enseñanza de las matemáticas (MAA, 1923). En relación con los alumnos de 15 años, esto supone que deben tener algunas nociones sobre la tasa de cambio, el gradiente y la pendiente (aunque no necesariamente de una manera formal) y las relaciones de dependencia entre unas y otras variables. Asimismo, deben tener la capacidad de emitir juicios sobre la velocidad a la que se producen los procesos, incluso en términos relativos.
Esta idea clave se halla estrechamente vinculada a diversos aspectos de algunas de las otras ideas clave. Un estudio de las regularidades numéricas puede conducir al descubrimiento de relaciones sorprendentes, como demuestran los estudios numéricos de Fibonacci o el caso de la proporción áurea. Este último concepto también desempeña un papel en el ámbito de la geometría. Dentro del campo del espacio y la forma se pueden encontrar muchos otros ejemplos vinculados con la idea de cambio y relaciones: el crecimiento de un área en relación con el crecimiento del perímetro o el diámetro sería uno de ellos. También la geometría euclidiana se presta al estudio de las relaciones. Un ejemplo bien conocido es la relación entre los lados de un triángulo. Si se conoce la longitud de dos de los lados, el tercero no estará determinado, aunque sí se conocerá el intervalo en que se encuentra: los extremos del intervalo vienen representados respectivamente por el valor absoluto de la diferencia entre los otros dos lados y su suma. Otras relaciones similares son bastante frecuentes entre los diversos elementos de los triángulos. También la incertidumbre se presta a plantear numerosos problemas que pueden contemplarse desde la perspectiva del cambio y las relaciones. Si se lanzan dos dados y en uno de ellos sale un cuatro, ¿qué posibilidad hay de que la suma de ambos sea superior a siete? La respuesta (50 %) se basa en la dependencia que tiene la probabilidad en cuestión respecto del conjunto de resultados favorables. La probabilidad requerida es el porcentaje de todos esos resultados comparado con todos los resultados posibles. Se trata, pues, de una dependencia funcional.
• Cálculo mental. • Estimaciones.
Dentro de la noción «significado de las operaciones» se incluye la capacidad de llevar a cabo operaciones que comporten realizar comparaciones, determinar proporciones y sacar porcentajes. El sentido numérico hace referencia a todo lo relacionado con el tamaño relativo, las diferentes representaciones de los números, las formas numéricas equivalentes y el empleo del conocimiento de estos aspectos para describir los atributos del mundo. El concepto de cantidad conlleva asimismo estar dotado de una sensibilidad hacia las cantidades y las estimaciones. Para poder evaluar hasta qué punto son razonables unos resultados numéricos concretos es necesario poseer un amplio conocimiento de las cantidades (medidas) del mundo real. ¿Cuál es la velocidad media de un coche, 5, 50 o 500 km/h? ¿Cuál es la población del mundo, 6, 600, 6.000 o 60.000 millones de personas? ¿Qué altura tiene una torre? ¿Qué anchura tiene un río? La capacidad de efectuar aproximaciones rápidas sobre el orden de magnitud de un determinado fenómeno es de vital importancia, sobre todo considerando que cada vez es más frecuente el recurso a herramientas electrónicas de cálculo. Una persona debe ser capaz de darse cuenta de que 33 x 613 arrojará un resultado cercano a 20.000. Para alcanzar esta habilidad, no hace falta ejercitarse intensamente en la ejecución mental del tipo de algoritmos que tradicionalmente se calculan por escrito; basta con un empleo hábil y flexible de la comprensión del valor posicional y de la aritmética de una sola cifra (Fey, 1990). Un uso adecuado de su sentido numérico permitirá a los estudiantes resolver problemas que requieran razonamientos directos, inversos y proporcionales. Asimismo, les permite calcular índices de variación y establecer criterios razonados para seleccionar datos y determinar el nivel de precisión necesario para las operaciones y modelos que emplean. Podrán también considerar algoritmos alternativos, demostrando por qué funcionan correctamente o en qué casos fallan. Podrán desarrollar modelos que comporten operaciones, o relaciones entre operaciones, con objeto de resolver problemas que contengan datos del mundo real y relaciones numéricas que requieran operaciones y comparaciones (Dossey, 1997). En la idea clave cantidad también hay un lugar para los razonamientos cuantitativos «elegantes», como el empleado por Gauss que figura en el ejemplo que viene a continuación. La creatividad asociada a la comprensión conceptual debe ser valorada en el nivel educativo de los alumnos de 15 años.
Este ejemplo de razonamiento cuantitativo con regularidades numéricas puede desarrollarse un poco más para demostrar su vinculación con una representación geométrica de dicha regularidad. Para ello utilizaremos la fórmula que recoge el planteamiento general del problema de Gauss: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 Esta fórmula reproduce un modelo geométrico bien conocido: los números que responden a la fórmula n (n + 1)/2 reciben el nombre de números triangulares, pues se corresponden exactamente con los números que se obtienen al formar con bolas un triángulo equilátero. Los cinco primeros números triangulares, 1, 3, 6, 10, 15, se muestran en la Razonamiento proporcional
Resultará interesante comprobar la forma en que los alumnos de los distintos países resuelven aquellos problemas que se prestan a la utilización de diversas estrategias. En este sentido, cabe esperar que las diferencias más apreciables se den en el ámbito del razonamiento proporcional. Lo más probable es que en algunos países se emplee una sola estrategia para cada problema, mientras que en otros se empleen varias. Igualmente cabe esperar la aparición de similitudes de razonamiento al resolver problemas que aparentemente no son demasiado similares. Estas observaciones concuerdan con los resultados obtenidos recientemente por la investigación de datos TIMSS (Mithchell, J. et al., 2000). Las tres preguntas siguientes ilustran las diversas estrategias que pueden adoptarse y las relaciones existentes entre ellas:
1. 2. Esta noche das una fiesta. Quieres comprar 100 latas de refrescos. ¿Cuántos paquetes de seis latas vas a comprar? Un ala delta con un índice de descenso de 1 m por cada 22 m inicia su vuelo desde un precipicio de 120 metros de altura. El piloto quiere llegar a un punto situado a una distancia de 1.400 metros. ¿Logrará llegar a ese punto (en ausencia de viento)? Un colegio quiere alquilar unos microbuses (con asientos para ocho pasajeros) para llevar a 98 alumnos a un campamento escolar. ¿Cuántos microbuses se necesitarán?
Autobuses:
Percibir esta similitud es una habilidad propia de : los alumnos dotados de competencia matemática no necesitan buscar una única herramienta o algoritmo adecuado, sino que disponen de toda una gama donde elegir. Ejemplo 9 de Matemáticas: PORCENTAJES
Carlos fue a una tienda a comprar una chaqueta cuyo precio habitual era 50 zeds, pero que ahora se vendía con un 20 % de descuento. En Zedlandia existe un impuesto sobre las ventas del 5 %. El dependiente añadió primero el impuesto del 5 % al precio de la chaqueta y luego descontó un 20 %. Carlos se quejó: quería que el dependiente dedujera primero el 20 % y luego añadiera el impuesto del 5 %.
Pregunta 1: PORCENTAJES ¿Supone esto alguna diferencia?
Los problemas que comportan un pensamiento cuantitativo de este tipo, así como la necesidad de llevar a cabo los consiguientes cálculos mentales, son bastante comunes en el contexto de las compras. La capacidad de abordar eficazmente estos problemas es un componente esencial de .
Incertidumbre
La ciencia y la tecnología rara vez se ocupan de las certidumbres. En realidad, el conocimiento científico casi nunca es absoluto, e incluso puede ser erróneo en ocasiones, por eso hasta en las predicciones más científicas existe siempre un umbral de incertidumbre. La incertidumbre también está presente en la vida diaria: resultados inciertos de unas elecciones, puentes que se derrumban, caídas de la bolsa de valores, pronósticos del tiempo poco fiables, predicciones erróneas del crecimiento de la población o modelos económicos que no cuadran. La idea clave incertidumbre alude a dos temas relacionados: los datos y el azar. Estos dos fenómenos son respectivamente el objeto de los estudios matemáticos de la estadística y del cálculo de probabilidades. Desde hace relativamente poco, las recomendaciones relativas a los currículos escolares señalan de manera unánime la necesidad de conferir a la estadística y al cálculo de probabilidades un relieve mucho mayor del que habían gozado en el pasado (Comisión para la Investigación de la Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela, 1982; LOGSE, 1990; MSEB, 1990; NCTM, 1989; NCTM, 2000). Los conceptos y las operaciones matemáticas que tienen importancia en este ámbito son la recogida de datos, el análisis y la exposición/visualización de datos, el cálculo de probabilidades y la inferencia.
Las recomendaciones relativas al lugar que deben ocupar los datos, la estadística y la probabilidad en los currículos escolares suelen poner el énfasis en el análisis de datos. No es de extrañar, por tanto, que a menudo se considere la estadística como un mero conjunto de habilidades específicas. Ha sido David S. Moore quien ha mostrado de qué se ocupa en realidad la idea clave incertidumbre. La definición de PISA sigue sus ideas, tal como quedaron recogidas en On the Shoulder of Giants (Steen, 1990) [Sobre hombros de gigantes], así como las expresadas por F. James Rutheford, en su obra Why Numbers Count (Por qué son importantes los números) (Steen, 1997). La aportación de la estadística a la formación matemática tiene un carácter único y de gran importancia, pues abre la posibilidad de razonar partiendo de datos empíricos inciertos. Este tipo de pensamiento estadístico debería formar parte del bagaje intelectual de todo ciudadano inteligente. Sus elementos clave serían los siguientes:
• La omnipresencia de la variación en los procesos. • La necesidad de contar con datos sobre los procesos. • El diseño de la elaboración de datos teniendo en mente la variación. • La cuantificación de la variación. • La explicación de la variación.
Los datos no son simples números, son números en un contexto. Los datos se obtienen mediante medición y se representan por un número. Pensar sobre mediciones conduce a una percepción madura de por qué unos números son informativos y otros irrelevantes o carentes de sentido. El diseño de estudios de muestreo es un aspecto fundamental de la estadística. El análisis de datos pone especial énfasis en la comprensión de los datos disponibles, asumiendo que representan un universo más amplio. En este sentido, un concepto como el de muestras simples aleatorias es esencial para que los alumnos de 15 años puedan comprender las cuestiones relacionadas con el campo de la incertidumbre. Los fenómenos producen resultados individuales inciertos y, con frecuencia, los patrones a los que se ajusta un resultado reiterado tienen un carácter aleatorio. En el presente estudio de PISA, el concepto de probabilidad se basará en situaciones en las que intervengan objetos relacionados con el azar, como es el caso de las monedas, los dados y los trompos, o con situaciones del mundo real, no excesivamente complejas, que sean susceptibles de ser analizadas intuitivamente o que puedan modelarse fácilmente con esos objetos. El ámbito de la incertidumbre se presenta también recurriendo a otras fuentes, como pueden ser la variación natural de las estaturas de los estudiantes, la lectura de puntuaciones, los ingresos de un determinado grupo de personas, etc. Un paso de gran importancia, incluso para los alumnos de 15 años, consiste en ver el estudio de los datos y el azar como un todo coherente. Uno de sus principios sería la progresión de ideas que va desde el mero análisis de datos a la producción de datos para llegar finalmente a la probabilidad y la inferencia. Las operaciones y conceptos matemáticos de mayor importancia en este ámbito son:
• La producción de datos. • El análisis de datos y su presentación/visualización. • La probabilidad. • La inferencia.
Ejemplos de Incertidumbre
Los ejemplos que vienen a continuación ilustran la idea clave incertidumbre. Ejemplo 10 de Matemáticas: MEDIA DE EDAD
Pregunta 1: MEDIA DE EDAD Si el 40 % de la población de un país tiene al menos 60 años, ¿es posible que la media de edad sea de 30 años?
MATEMÁTICOS Matematización
La evaluación PISA estudia la capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicar ideas matemáticas de forma efectiva al plantear, resolver e interpretar problemas matemáticos en distintas situaciones. La solución de problemas requiere que los alumnos hagan uso de las habilidades y competencias que han adquirido a lo largo de su escolarización y a través de sus propias experiencias vitales. En la evaluación PISA ese proceso fundamental que emplean los alumnos para resolver los problemas que plantea la vida real se denomina matematización. En el apartado que se ocupaba de las bases teóricas del marco PISA de evaluación de las matemáticas se esbozaba una descripción de las matemáticas en cinco pasos. En la Figura 3.8 se recogen esos pasos, que aparecen luego en forma de lista.
Pregunta 1: INCREMENTO DE LA CRIMINALIDAD
• Se inicia con un problema situado en la realidad. • Se organiza de acuerdo con conceptos matemáticos y se identifican las matemáticas relevantes al caso.
• El problema se va abstrayendo progresivamente de la realidad mediante una serie de procesos, como la elaboración de supuestos, la generalización y la formalización, mediante los cuales se destacan los rasgos matemáticos de la situación y se transforma el problema del mundo real en un problema matemático que reproduce de manera fiel la situación.
• Se resuelve el problema matemático. • Se confiere sentido a la solución matemática en términos de la situación real, a la vez que se identifican las posibles limitaciones de la solución. La matematización comporta, en primer lugar, la traducción del problema real a términos matemáticos. Este proceso incluye diversas operaciones, como por ejemplo:
• Identificar los elementos matemáticos pertinentes al problema situado en la realidad. • Representar el problema de una manera distinta; lo cual comporta, entre otras cosas, organizarlo de acuerdo con los conceptos matemáticos pertinentes y plantear los supuestos adecuados al caso.
• Comprender las relaciones existentes entre el lenguaje del problema y el lenguaje formal y simbólico que se necesita para comprenderlo en términos matemáticos.
• Encontrar regularidades, relaciones y patrones. • Reconocer los aspectos que son isomórficos respecto de otros problemas conocidos. • Traducir el problema a términos matemáticos, es decir, a un modelo matemático (de Lange, 1987).
Una vez que el alumno ha traducido el problema a una forma matemática, el proceso puede continuarse ya dentro de un ámbito estrictamente matemático. Los alumnos se plantearán preguntas del tipo: «¿Hay...?» «En tal caso, ¿cuántos?» o «¿Cómo puedo hallar...?», recurriendo a las habilidades y conceptos matemáticos de que dispone. Tratarán de desarrollar el modelo del problema, adaptarlo, establecer regularidades, identificar conexiones y crear una buena argumentación matemática. Esta parte del proceso de matematización suele conocerse como la parte deductiva del ciclo de construcción de modelos (Blum, 1996; Schupp, 1988). Conviene señalar, no obstante, que en esta fase pueden intervenir también otros procesos aparte del deductivo. Esta parte del proceso de matematización comporta:
• Utilizar diferentes tipos de representación e ir alternando entre ellos. • Utilizar operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico. • Refinar y ajustar los modelos matemáticos mediante un proceso de combinación e integración de
modelos.
• Argumentar. • Generalizar.
El último, o los últimos pasos, que han de darse para resolver el problema implican una reflexión sobre el proceso en su conjunto y sobre los resultados obtenidos. Llegados a este punto, los alumnos deben interpretar los resultados con espíritu crítico y validar la totalidad del proceso. Esta reflexión se da en todas las fases del proceso, pero tiene especial importancia en esta fase final. Algunos de los aspectos de este proceso de reflexión y validación son:
• La comprensión del alcance y los límites de los conceptos matemáticos. • La reflexión sobre las argumentaciones matemáticas y la explicación y justificación de los resultados obtenidos. • La comunicación del proceso y la solución. • La crítica del modelo y de sus límites. Esta fase aparece indicada en dos puntos de la Figura 3.8 mediante la referencia «5», que señala el momento del proceso de matematización en que se pasa de la solución matemática a la solución real y el momento en que esta última se relaciona de nuevo con el problema del mundo real.
Las capacidades
El anterior apartado se centraba en los principales conceptos y procesos asociados a la matematización. Un individuo que tenga que emplear de forma satisfactoria la matematización dentro de una gran variedad de situaciones y contextos, intra y extramatemáticos, así como en el ámbito de las ideas clave, necesita poseer una serie de capacidades matemáticas que, tomadas en su conjunto, conforman el concepto superior de competencia matemática. Cada una de estas capacidades puede dominarse en mayor o menor grado. Las distintas fases del proceso de matematización recurren a estas capacidades de un modo diferente, tanto en lo que respecta a las capacidades específicas que han de usarse como al nivel de dominio requerido. Para identificar y analizar estas capacidades, PISA ha optado por recurrir a ocho capacidades matemáticas características que, en su forma actual, se basan en la obra de Niss (1999) y de sus colegas daneses. También pueden encontrarse formulaciones similares en las obras de otros muchos autores (como se señala en Neubrand et al., 2001). Convendrá señalar, sin embargo, que no todos los autores coinciden en las acepciones que dan a algunos de estos términos.
• Pensamiento y razonamiento. Consiste en plantear preguntas características de las matemáticas
(«¿Hay...?», «En tal caso, ¿cuántos...?», «¿Cómo puedo hallar...?»); conocer los tipos de respuesta que las matemáticas ofrecen a esas preguntas; distinguir entre distintos tipos de asertos (definiciones, teoremas, conjeturas, hipótesis, ejemplos, afirmaciones condicionales); y comprender y saber manejar el alcance y los límites de los conceptos matemáticos que hagan al caso. • Argumentación. Comporta entender en qué consisten las pruebas matemáticas y qué las diferencia de otro tipo de razonamientos matemáticos; seguir y evaluar cadenas de argumentaciones matemáticas de distintos tipos; tener un sentido heurístico («¿Qué puede o no puede suceder y por qué?»), así como crear y expresar argumentaciones matemáticas. • Comunicación. Consiste en la capacidad de expresarse de muy diversas maneras sobre temas de contenido matemático, tanto de forma oral como escrita, así como comprender las afirmaciones orales o escritas expresadas por otras personas sobre esas mismas materias. • Construcción de modelos. Comporta estructurar el campo o la situación para la que se ha de elaborar un modelo; traducir la realidad a estructuras matemáticas; interpretar modelos matemáticos en función de la realidad; trabajar con modelos matemáticos; validar un modelo; reflexionar, analizar y criticar un modelo y sus resultados; comunicar opiniones sobre el modelo y sus resultados (incluyendo las propias limitaciones de tales resultados); y supervisar y controlar el proceso de construcción de modelos matemáticos.
• Planteamiento y solución de problemas. Consiste en plantear, formular y definir distintos tipos de problemas matemáticos (por ejemplo, problemas «puros», «aplicados», «abiertos» y «cerrados»), así como la capacidad de resolver diversos tipos de problemas matemáticos de distintas maneras.
• Representación. Comporta la capacidad de descodificar, codificar, traducir, interpretar y distinguir distintas formas de representación de objetos y situaciones matemáticos; las interrelaciones que existen entre las diversas representaciones; y la elección y alternancia entre distintos tipos de representación según las situaciones y objetivos.
• Utilización de operaciones y lenguaje técnico, formal y simbólico. Comporta descodificar e interpretar
el lenguaje formal y simbólico; comprender sus relaciones con el lenguaje natural; traducir del lenguaje natural al lenguaje simbólico/formal; hacer uso de expresiones y asertos que contengan símbolos y fórmulas; emplear variables, resolver ecuaciones y realizar cálculos.
• Empleo de material y herramientas de apoyo. Comporta conocer y saber emplear toda una serie de materiales y herramientas de apoyo (incluidas las herramientas de las tecnologías informáticas) que pueden contribuir a la realización de la actividad matemática, así como conocer las limitaciones de dichos materiales y herramientas. PISA no evalúa las capacidades antes mencionadas de forma individual. El grado de solapamiento que se da entre ellas es muy considerable y, por regla general, cuando se emplean las matemáticas es necesario recurrir de forma simultánea a varias de estas capacidades. Por esa razón, cualquier intento de evaluarlas de manera individual probablemente daría lugar a unas tareas artificiales y a una compartimentación innecesaria del ámbito de . Las capacidades específicas de las que disponen los alumnos varían considerablemente entre uno y otro individuo. Esto se debe, en parte, a que todo proceso de aprendizaje tiene lugar a través de la experiencia: «la construcción individual del conocimiento es el resultado de un proceso de interacción, negociación y colaboración» (de Corte, Greer y Verschaffel, 1996, pag. 510). PISA presupone que la mayor parte de las matemáticas que saben los estudiantes la han aprendido en la escuela. La comprensión de un área de contenido es algo que se adquiere de forma gradual. Solo con el paso del tiempo irán surgiendo formas de representación y razonamiento más formales y abstractas, como consecuencia de la participación en actividades diseñadas para fomentar la evolución de las ideas informales. También se adquiere a través de la experiencia que se obtiene al interactuar en una gran diversidad de situaciones o contextos sociales. Para poder describir y presentar desde una perspectiva internacional y de la manera más fructífera posible las capacidades de los estudiantes, así como sus puntos fuertes y débiles, será necesario adoptar cierto tipo de estructura. Una de las formas de lograrlo de una manera que resulte manejable y comprensible a la vez, consiste en definir una serie de grupos de capacidades basados en el tipo de exigencias cognitivas que se requieren para resolver los distintos tipos de problemas matemáticos.
.jpg)
